Как выразить вектор через векторы

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»

Вам уже хорошо знакомо понятие вектора, и вы умеете выполнять некоторые действия над векторами. А именно: складывать, вычитать и умножать вектор на число.

На этом уроке мы приступаем к более глубокому изучению вопроса о векторах и для начала запишем лемму о коллинеарных векторах.

Лемма. Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число , что .

Доказательство.

1.

Пусть, тогда .

2.

Пусть, тогда .

Что и требовалось доказать.

Выразить коллинеарные векторы , , , , и через коллинеарный им вектор .

Итак, начнём с вектора Видим, что векторы и сонаправлены. Значит, k>0.

Также, взяв длину вектора за единицу, видим что длина вектора в 3 раза больше.

Можем записать, что вектор равен произведению вектора на число 3.

Рассмотрим следующий вектор, вектор . Он так же сонаправлен с вектором , поэтому k>0. При этом длина вектора в 6,5 раза больше длины вектора .

Тогда вектор равен произведению вектора на 6,5.

Далее рассмотрим вектор .

Он противоположно направлен с вектором . Поэтому k<0. К тому же длина вектора в 5,5 раза больше длины вектора . Тогда вектор .

Далее не сложно записать, что вектор .

Следующим рассмотрим вектор . Он противоположно направлен вектору и его длина в 2 раза меньше, поэтому вектор .

Остался вектор . Как видите, он нулевой. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Поэтому вектор .

Сейчас вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов.

Если векторы-слагаемые и отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм ABCD, мы получим вектор их суммы.

Обозначим вектор как вектор . Он равен сумме .

В свою очередь вектор всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора на некоторое число x, а вектор — как произведение коллинеарного ему вектора на некоторое число y.

Тогда можно записать, что вектор .

В таком случае говорят, что Вектор разложен по неколлинеарным векторам и . , коэффициенты разложения.

Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы и .

Докажем, что любой вектор можно разложить по данным векторам.

1.

В этом случае по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор
.

Так же можно записать его разложение по векторам и . Только коэффициент разложения при векторе будет равен нулю .

2.

Отметим некоторую точку О и отложим от неё векторы , и , равные векторам , и соответственно.

Через точку P проведём прямую параллельную прямой . Точку пересечения полученной прямой с ОА обозначим как А₁.

По правилу треугольника вектор . Вектор коллинеарен вектору , вектор коллинеарен вектору . Это значит, что вектор , а вектор .

Отсюда получаем, что вектор . Тем самым мы разложили его по векторам и .

Первая часть теоремы доказана. Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.

Теперь докажем, что коэффициенты разложения x и y определяются единственным способом.

Допустим, что кроме разложения возможно другое разложение, .

Вычтем второе равенство из первого.

Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам и , при этом коэффициенты разложения равны и .

.

Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. А значит, при и .

Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример. Запишем разложение вектора по векторам и .

Все они отложены от точки О. При этом векторы , и равны векторам , и соответственно.

Через точку P проведём прямую, параллельную OB. И точку пересечения этой прямой с ОА назовём А₁.

По правилу треугольника вектор . Вектор .

Аналогично, выразим .

Тогда разложение вектора по векторам

Теперь выполним задание, в котором векторы и , изображённые в координатной плоскости, нужно разложить по двум векторам и .

Итак, начнём с вектора . Восстановим для него правило треугольника сложения двух векторов так, чтобы вектор являлся вектором суммы, а векторы-слагаемые и были коллинеарны векторам и соответственно.

Аналогично поступим с другими векторами.

На примере этого задания вы увидели, как можно раскладывать векторы по двум неколлинеарным векторам.

Подведём итоги урока.

Сегодня вы узнали, что любой вектор можно выразить через коллинеарный ему вектор умножением на некоторое число k.

Также мы рассмотрели примеры и убедились в том, что на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом. При этом любые два направленных отрезка считаются равными, если они имеют одинаковые длину и направление. Таким образом, начало вектора можно помещать в любую точку пространства.

Если начало вектора находится в точке A , а конец – в точке B , то вектор обозначают AB . Векторы также принято обозначать строчными буквами латинского алфавита со стрелкой над ними: a , b , c .

Длиной вектора AB называется длина отрезка AB , обозначается Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

и b называются коллинеарными , если они параллельны

одной и той же прямой.

Если при этом векторы a и b имеют одинаковое

направление, то они называются сонаправленными .

и c называются компланарными , если они

параллельны однойи той же плоскости.

Углом между ненулевыми векторами a и b называется наименьший из двух углов, образуемых этими векторами при совмещении их начал (рис.2.1), обозначается α = ( a , b ) . Векторы a и b называются ортогональными

(перпендикулярными), если ( a , b ) = 90 .

Произведением вектора a на число λ называется вектор, обозначаемый λ a , длина которого равна | λ || a | , а направление совпадает с направлением вектора a , если λ > 0 , и противоположно ему, если λ < 0 . Таким образом, векторы a и λ a коллинеарны. Справедливо и обратное утверждение: если векторы a и b коллинеарны, то они связаны равенством a = λ b , где λ – некоторое число.

Суммой векторов AB и BC называется вектор AC (рис.2.2). Это определение называют правилом треугольника сложения векторов.

Сумма векторов a и b обозначается a + b .

Сложение нескольких векторов выполняется по правилу многоугольника :

A 1 A 2 + A 2 A 3 + . + A n − 1 A n = A 1 A n .

Для сложения двух неколлинеарных векторов применяют также правило параллелограмма: суммой векторов AB и AD является вектор AC , где точка C

D

Пример 2.1. В треугольнике ABC даны стороны AB = 2 , AC = 3 . Векторы a и b сонаправлены с векторами AB и AC соответственно и | a | = | b | = 1 . Точка E – середина стороны BC . Выразить векторы BC и AE через векторы a и b .

Р е ш е н и е. По правилу треугольника имеем

BC = CA + AB = − 3 b + 2 a .

Для того чтобы выразить вектор AE , построим параллелограмм ABDC (рис.2.4). По правилу параллелограмма AD = AB + AC = 2 a + 3 b . Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, имеем

E a

A C

Если вектор a может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a 1 , a 2 . a n , т.е.

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . + λ n a n ,

где λ i , i = 1. n , – некоторые числа, то говорят, что вектор a линейно выражается через векторы a 1 , a 2 . a n .

Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора e 1 , e 2 , взятые в определенном порядке. Любой компланарный с базисными векторами e 1 , e 2 вектор a можно представить, и притом единственным образом, в виде их линейной комбинации:

Числа x и y в правой части равенства (2.1) называются координатами вектора a в базисе e 1 , e 2 .

Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора e 1 , e 2 , e 3 , взятые в определенном порядке. Любой вектор a можно представить, и притом единственным образом, в виде их линейной комбинации:

где x , y , z – координаты вектора a в базисе e 1

Равенство (2.1) называется разложением вектора a

плоскости, а равенство (2.2) – разложением вектора a

Координаты вектора обычно записывают в круглых скобках после

буквенного обозначения вектора. Например, запись a (2; − 1;3)

вектор a имеет координаты 2, − 1 и 3 в выбранном базисе.

Два вектора, заданные координатами в фиксированном базисе, равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты.

Пример 2.2. При каком значении y векторы a (3; − 2;5) и b ( − 6; y ; − 10) коллинеарны?

Р е ш е н и е. Векторы a и b λ , что выполняется равенство координаты векторов a и λ b ( − 6 λ ; λ

коллинеарны, если существует такое число a = λ b . Приравнивая соответствующие y ; − 10 λ ) , получим:

3 = − 6 λ , − 2 = λ y ,5 = − 10 λ ,

отсюда находим, что λ = − 1 2 и y = 4 .

Базис называется ортонормированным , если базисные векторы попарно ортогональны и имеют длину, равную единице. Векторы ортонормированного базиса на плоскости обозначают i , j , а в пространстве – i , j , k . Если при указании координат вектора не дается ссылка на конкретный базис, то по умолчании считают базис ортонормированным.

Декартовой системой координат называется совокупность фиксированной точки O , называемой началом координат, и базиса e 1 , e 2 , e 3 . Декартова система координат с ортонормированным базисом называется

Прямые, походящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями . Прямая Ox называется осью абсцисс , прямая Oy – осью ординат , прямая Oz – осью аппликат .

Вектор OM называется радиус-вектором точки M . Координатами точки M в рассматриваемой системе координат называются координаты ее радиус-вектора. Первая координата называется абсциссой , вторая –

ординатой , третья – аппликатой .

Длина вектора a ( x ; y ; z ) , заданного своими координатами в ортонормированном базисе, определяется равенством

a = x 2 + y 2 + z 2 .

Если в декартовой системе координат даны две точки M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то вектор M 1 M 2 в соответствующем базисе имеет координаты

x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 , а расстояние между точками

и M 2 (длина вектора

M 1 M 2 ) находится по формуле

M ( x ; y ; z ) , принадлежащую данному отрезку, удовлетворяющую условию M 1 M = λ MM 2 . Координаты такой точки вычисляются по формулам:

При λ = 1 точка M

определяют координаты середины отрезка:

вершины A (1; − 2), B ( − 2;4), C (5; − 6)

ABC . Точка K делит сторону AB в отношении

2 :1 , считая от вершины A .

Найти длину отрезка KC .

Р е ш е н и е. Так как

то координаты точки K найдем по

формулам (2.4) при λ = 2 :

x K = 1 + 2 ( − 2) = − 1,

т.е. K ( − 1;2) . Длину отрезка KC найдем по формуле (2.3)

( 5 − ( − 1) ) 2 + ( − 6 − 2) 2 = 10 .

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Изобразить два неколлинеарных вектора a и b и построить векторы:

а) a + 2 b ; б) 3 a − b ; в) − 1 2 a + 3 b .

2.2. Дан параллелограмм

ABCD и два вектора p и q таких, что AB = 4 p , а

N – середины сторон BC и CD соответственно.

Выразить через векторы p и q :

а) векторы CB , CD , AC , BD ; б) векторы

AE – медиана, a = AB , b = AC , c = AE .

2.3. В треугольнике

Разложить геометрически и аналитически: а) вектор c по векторам a и b ; б) вектор a по векторам b и c .

2.4. В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Разложить геометрически и аналитически вектор AC = c по векторам a = AM и b = AN .

2.5. В трапеции ABCD имеем BC || AD и BC : AD = 1: 3 . Выразить вектор c = CD через векторы a = AB и b = AD .

2.6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O . Выразить векторы OA , OB , OC через векторы a = AB и b = AC . Проверить справедливость

равенства OA + OB + OC = 0 .

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Выразить

BD , B D через векторы a = AB ,

2.8. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Прямые AC и BD пересекаются в

точке O . Выразить

OA 1 , OB 1 , OC 1

a = AB , b = AD , c = AA .

2.9. При каком значении x векторы a ( x ;2; − 4) и b (3; − 6;12) коллинеарны?

2.10. Даны точки M (0;3), N (2;1), P (5; − 1), Q (9; − 3) . Доказать, что четырехугольник MNPQ является трапецией.

2.11. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD : A (1;2) , B (3;7) , D (8; − 1) . Найти координаты вершины C .

2.12. Даныкоординатыдвухвершинтреугольника ABC : A (1;2) , B (3;4) .Отрезок AE – медианатреугольникаи AE (4; − 1) .Найтикоординатывершины C .

2.13. Найти положительное значение координаты x вектора a ( x ; − 3;4) , если

| a | = 52 .

2.14. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах m (3;4; − 2)

2.15. Найти длину стороны BC треугольника ABC , если AB (1; − 1;2) , AC (7;2;4) .

2.16. Даны точки A (2;3; − 1) , B (8;12; − 4) . Найти координаты: а) середины отрезка AB ; б) точек, делящих отрезок AB на три равные части.

2.17. Даны вершины A (4; − 1) , B (5;5) , C ( − 3;1) треугольника ABC . Найти медиану, проведенную из вершины A .

2.18. На отрезке AB выбрана точка E так, что AE : EB = 1: 4 . Найти координаты точки B , если A (1; − 2;5) , E (3; − 1;1) .

Метод координат

Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

Вектор d можно представить в виде суммы:

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

Можно записать равенство:

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты <1; – 3>.

Выполним построение и для с:

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют <3,5; 0>.

Осталось рассмотреть d:

Здесь координаты вектора будут равны <– 2,5; – 2,5>, так как такие же координаты имеет точка D.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

Задание. Даны координаты вектора:

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a1; у₁> и b2; у₂>. Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

Эта запись означает, что с имеет координаты <х₁ + х₂; у₁ + у₂>. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а <2; 3>и b <4; 5>. Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с <х; у>. Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

В итоге получился вектор с <6; 8>.

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a1; у₁> и b2; у₂>. Снова запишем их разложение на единичные вектора:

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

Например, пусть надо вычесть из вектора а <5; 3>вектор b<2;1>. Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

Аналогично вычисляем и координату у:

В итоге получили вектор с координатами <3; 2>.

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х₁и у₁ можно разложить на орты следующим образом:

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

Например, есть вектор а<3; 7>, который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

В результате получился вектор <15; 35>.

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

Если числа х₂ и у₂ не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты <8; 5>, а у вектора b они равны <24; 15>. Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты <0; у₁>, причем у₁≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты 2; у₂> составят:

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у₂ и у₁ могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

Например, есть вектор <0; 5>. Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору <0; 5>. В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно). Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Векторное произведение векторов

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора. Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос: если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР: , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны. Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке: – «а» умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости, и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки. Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он).

Теперь совместите указательный палец левой руки с тем же вектором , а средний – с вектором . При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис .

Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение 😉 Или просто попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются.

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица, чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение: Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ:

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ:

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры, соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ:

Пора подбросить дров в огонь:

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение: Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор. О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ:

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров 😉

Векторное произведение векторов в координатах

С векторами, заданными в координатах, всё тоже просто и прозрачно. Сразу обращаю внимание на то, что разговор пойдёт о координатах ортонормированного базиса. В общем случае аффинного базиса нижеприведённая формула будет нерабочей. Кстати, кто ещё не успел ознакомиться с базисами, рекомендую статью Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Согласно свойствам определителя, если в определителе две строки переставить местами, то он сменит знак. Этот факт полностью соответствует свойству антикоммутативности векторного произведения.

Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, что продемонстрировано выше. Если есть трудности с определителями и формула не очень понятна, пожалуйста, посетите урок Как вычислить определитель, всё станет на свои места.

Что получается в результате раскрытия определителя?

В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор.

Найти векторное произведение векторов и его длину.

Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), и во-вторых, его длину.

1) Найдём векторное произведение:

В результате получен вектор , или, ещё можно записать .

Существует очень хороший способ проверки: как следует из определения, вектор должен быть ортогонален векторам . Ортогональность векторов, как мы разбирались, проверяется с помощью скалярного произведения:

Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя.

2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников:

Ответ:

В плане технических обозначений здесь, наоборот, вместо громоздкой конструкции выгодно использовать букву , поскольку она сокращает запись

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Даны векторы . Найти и вычислить .

Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны!

Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи:

Даны вершины треугольника . Найти его площадь.

Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:

Ответ:

Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами – было не обязательно выбирать стороны . Решение также допустимо провести через векторы либо . Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное.

Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить , то получим противоположно направленный вектор , но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Примерах № 6, 7, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Это пример для самостоятельного решения.

В заключение первого раздела рассмотрим обещанную задачу урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов:

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ: а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Смешанное произведение векторов

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны.
С компланарными векторами разберёмся ниже (что такое компланарность векторов, подробно разъяснено в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов).

2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Смешанное произведение компланарных векторов

Если векторы компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: .

Немного отвлекусь от темы, возможно, не все знают ответы на следующие вопросы:
– Чему равны длина и ширина точки?
– Чему равна площадь прямой?
– Чему равен объём плоскости?

С позиции геометрии ответ таков: нулю

Смешанное произведение векторов в координатах

Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический:

Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой:

Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса – это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

В различных источниках на ваши головы выльют тонны различных свойств смешанного произведения. С практической точки зрения считаю важным отметить лишь некоторые вещи:

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. А по свойству определителя, при перестановке двух строк он меняет знак. Таким образом, при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке:

Значение определителя от этого не изменится (см. статью Свойства определителя и понижение его порядка). Дело вкуса.

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то

Такое задание уже было! В конце урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов мы разбирали задачу «доказать, что три вектора образуют базис пространства», где рассчитывали определитель третьего порядка и получали некоторое число. Так вот: по сути – мы находили смешанное произведение трёх векторов. И с геометрической точки зрения полученное число по модулю равнялось объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах! Ну, а если получался ноль, то делали вывод, что векторы компланарны и базиса не образуют.

Закидываем остатки Буратино в огонь:

Вычислить:
а) смешанное произведение векторов;
б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;
в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение: Всё быстро и просто:

а) По формуле смешанного произведения:

(Определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения данных векторов:

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ:

В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень.

На практике, по моей субъективной оценке, в 95-99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды:

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины

Решение: Чайникам рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий.

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды :

Ответ:

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника.

Объём тетраэдра – хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же:

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки .

Остались только веселящие душу угольки, и в заключение хочу добавить, что в общем виде смешанное произведение векторов определено в аффинной системе координат. Более подробную информацию и формулы можно почерпнуть у тандема Атанасяна-Базылева.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: По соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 5: Решение:
1) Выразим вектор через вектор :

2) Вычислим длину векторного произведения:

Ответ:

Пример 7: Решение: 1) Найдём векторное произведение:

2) Вычислим длину векторного произведения:

Ответ:

Пример 9: Решение: Найдём вектор:
.
Векторное произведение:

Площадь параллелограмма:

Ответ:

Пример 13: Решение: Найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)
Вычислим объём пирамиды :

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys