Помогите пожалуйста) очень сильно нужно решение)
1) В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз найдите вероятность того что выпавшее число является делителем числа 6.
2) Небольшие холодильники упакованы в кубические коробки. При хранении холодильник должен стоять дном вниз. На складе одну такую коробку положили случайным
образом, не обращая внимания на положение холодильника. Найдите вероятность того, что холодильник хранится неправильно.
3) Симметричную монету бросают дважды. Сколько элементарных событий благоприятствует выпадению хотя бы одного орла?
4) 1 апреля на запись в первый класс независимо друг от друга пришло 3 будущих первоклассника. Найдите вероятность того, что среди них было две девочки и один мальчик. УКАЗАНИЕ: Считайте, что пришедший ребёнок с равной вероятностью может оказаться мальчиком или девочкой.
5) монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того что решка выпадала больше раз, чем орел.
Задачи B6 с монетами
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:
где искомая вероятность, число устраивающих нас событий, общее число возможных событий.
Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа В этом и состоит вся сложность.
Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:
- — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
- — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.
Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!
Метод перебора комбинаций
Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:
- Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций —
- Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем
- Осталось найти вероятность:
К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):
Итого варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:
Таких вариантов оказалось Находим вероятность:
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Всего получилось вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, Осталось найти вероятность:
Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.
Специальная формула вероятности
Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:
Теорема. Пусть монету бросают Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно можно найти по формуле:
Где Cn k — число сочетаний которое считается по формуле:
Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.
На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
По условию задачи, всего бросков было Требуемое число орлов: Подставляем в формулу:
С тем же успехом можно считать число решек: Ответ будет таким же.
Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем числа Поскольку монету бросают 3 раза, А поскольку решек быть не должно, Осталось подставить числа в формулу:
Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.
Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.
Пусть вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда Имеем:
Теперь найдем вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае Имеем:
Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:
neveev
Некоторое время назад ко мне обратился один мой подписчик и сообщил, что между ним и его коллегой возник интересный спор по поводу того, какая комбинация орлов и решек, возникающая при подбрасывании монеты, более вероятна, а какая – менее.
Этот спор шел вокруг вопроса о том, какая комбинация более вероятна, если при первом броске выпала решка: РР или РО. Коллега моего подписчика считал, что более вероятна вторая комбинация и объяснял это примерно так:
« Вероятность выпадения двух решек равна ½ * ½ = ¼. Значит, вероятность выпадение любой иной комбинации составляет 1 — ¼ = ¾. Следовательно, вероятность того, что если уже выпала решка, то при следующем броске снова выпадет решка составляет ¼, а вот вероятность того, что выпадет орел, составляет 1 – ¼ = ¾ » .
Другими словами, коллега моего подписчика утверждал, что если нам при первом броске выпала решка, то при втором броске нам с большей вероятностью выпадет орел, чем решка.
Мой подписчик, который прочитал много моих статей о когнитивных искажениях, эвристиках и об ошибках, которые мы делаем, когда пытаемся рассуждать о случайностях и о вероятности тех или событий, знал, что этот вывод неверен и пытался переубедить своего коллегу, показать ошибочность его рассуждений.
Дошло до того, что коллега моего подписчика предложил проверить его вывод эмпирически. Он предлагал сделать это следующим образом.
«Кидаем монету, если выпадает орел, то начинаем заново, если выпадает решка, то фиксируем, какой стороной выпадет монета при втором броске, а затем начинаем следующую попытку».
Всего предлагалось сделать сто таких попыток.
Поскольку мой подписчик был неопытен в сфере споров о теории вероятностей, он согласился на этот опыт, и они стали кидали монету. Они сделали сто попыток, и в итоге распределение получилось примерно 60 на 40, т.е. примерно в шестидесяти случаев из ста после того, как выпала решка, выпал орел, и только в примерно сорока случаях после решки снова выпала решка.
Эти данные коллега моего подписчика, естественно, обратил в свою пользу и сказал что-то вроде того, что 60 стремится к 75, и если бы было больше попыток, например, не сто, а тысяча, то соотношение РО/РР было бы еще ближе (!) к 75/25.
Как же обстоят дела на самом деле?
Да очень просто.
Какова вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты, она каждый раз упадет решкой? Тут коллега моего подписчика абсолютно прав. Эта вероятность составляет ¼ или 25%. Такова же и вероятность каждого из трех альтернативных исходов.
Действительно, всего существует четыре варианта исходов двукратного подбрасывания монеты:
- РР
- ОО
- РО
- ОР
Но дело в том (и это ключевой момент!), что если нам уже выпала решка, то число возможных комбинаций сокращается с четырех до двух: РР и РО. Другими словами, если нам уже выпала решка, то при следующем подбрасывании нам выпадет или орел, или решка. Вариантов всего два, а значит вероятность каждого из них составляет ½ или 50%.
Учитывая вот это изменение ситуации после первого броска, которого человек не понял, не уловил, можно предположить, что механизм, лежащий в основе ошибочного вывода коллеги моего подписчика, примерно тот же, что лежит в основе знаменитого парадокса Монти Холла.
Кроме того, возможно, в основе того, что коллеге моего подписчика более вероятной казалась, так сказать, гетерогенная комбинация – РО – лежит и эвристика репрезентативности.
Не менее вероятно и то, что коллега моего подписчика просто не очень хорошо понимает теорию вероятностей, проще говоря, прорешал мало соответствующих учебных задач.
– Но почему же в процессе эмпирической проверки соотношение комбинаций РО к РР, – спросит кто-то, – не составило 50 на 50, как это должно было бы быть в соответствии с нашими расчетами?
Здесь мы можем вспомнить совершенно правильное утверждение коллеги моего подписчика о том, почему эмпирическое соотношение разошлось с теоретическим: попыток маловато.
Действительно, в случае, если бы они записали исходы тысячи попыток, соотношение еще сильнее приблизилось бы к 50/50.
Ну, а в заключение я бы хотел отметить, что описанный реальный случай не только интересен сам по себе, но и позволяет сделать несколько очень полезных выводов и сформулировать достаточно ценные рекомендации. Давайте же их перечислим.
Решка выпала больше раз чем орел
Двое бросают монету. Первый бросил ее 2018 раз, а второй 2019 раз. Предполагается, что монета симметричная, т. е. выпадение орла и решки при бросании равновероятно. Какова вероятность, что у второго монета упала орлом вверх большее число раз, чем у первого?
Пусть событие A — «у второго выпало больше орлов, чем у первого», событие B — «у первого выпало больше орлов, чем у первого». Поскольку выпадение орла и решки равновероятно. То события A и B равновероятны. Так как второй бросал монету ровно на один раз больше первого, то либо орлов, либо решек у него выпало больше, но не одновременно. Поэтому события A и B дополняют друг друга.
Таким образом, P(A) = P(B) и P(A) + P(B) = 1. Следовательно, P(A) = 0,5.