Какая функция растет быстрее степенная или показательная

20.Сравнение роста показательной,степенной и логарифмической функций.

при (логарифмическая функция)= о(),(степенная функция)=о() (), т.е. при ББ функция (показательная) имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции и ; ББ функция имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция

21. Фор-ла Тейлора является основой приближенных вычислений,т.к. позволяет заменить диф. Фу-цию многочленом любой степени

Фор-ла с остаточным членом в форме Логранжа:

-многочлен Тейлора

-остаточный член в форме Логранжа

Фор-ла с остаточным членом в форме Пеано:

-многочлен Тейлора

-остаточный член в форме Пеано

22.Разложение фу-ций по фо-ле Маклорена

23.Определение возрастающей(убывающей)фу-ции

Фу-ция y=f(x)назыв.возрастающей (убывающей)на промежуткеХ,если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее)значение фу-ции,то есть для x₁<x₂,x₁и x₂X справедливо f(x₁)<f(x₂)(f(x₁)>f(x₂))

Условия монотонности диф.ф-ции на интервале:

1.пусть ф-ция f(x) диф.на интервале (а;b),тогда

1)y=f(x) назыв. неубывающей на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≥0 на (a;b)

2)y=f(x)назыв. невозрастающей на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≤0 на (a;b)

2.пусть ф-ция f(x) диф-ема на (a;b),тогда

1)если f’(x)>0 на (a;b),то y=f(x) возрастает на (a;b)

2)если f’(x)<0 на (a;b),то y=f(x) убывает на (a;b)

3.пусть ф-ция y=f(x) диф-ма на (a;b),тогда

1)y=f(x) возрастает на (a;b)тогда когда f’(x)≥0 на (a;b)причем равенство f’(x)=0 возможно только в отдельных точках этого интервала

2)y=f(x) убывает на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≤0 на (a;b)причем равенство f’(x)=0 возможно толоько в отдельных точках этого интервала

Достаточное условие выпуклости графика фц-ции

Если сущ.вторая производная f”(x) и она <0 при всех Х на (a;b),то график ф-ции f(x) является выпуклым вверх на (a;b)

Если сущ.вторая производная и она >0 при всех Х на (a;b),то график ф-ции f(x) является выпуклым вниз на (a;b)

Точки перегиба

Точка М(х₀;f(x₀))в уторой меняется направление выпуклости гнрафика ф-ции называется точкой перегиба

Достаточное условие перегиба:если f”(x) в некоторой точке х₀ обращается в 0 или не существует и при переходе через эту точку меняет знак,то точка М(х₀;f(x₀))является точкой перегиба

24.Отыскание точек локального экстремума фу-ции

Точка х₀ назыв. точкой лок. max f(x) если для всех xx₀ из некоторой окрестности т. х₀ f(x₀)>f(x)

Точка х₀ назыв. точкой лок. min f(x) если для всех xx₀ из некоторой окрестности т. х₀f(x₀)<f(x)

Необходимое условие экстремума: если х₀ является точкой локального экстремума точки f(x)

То производная f’(x) в этой точке обращается в 0 или не существует(точки в которых производная обращается в 0 или не существует назыв. критическими точками или стационарными или точками возможного экстремума, но это не обяз. точки экстремума)

1 достаточный признак сущ. экстремума : пусть х₀ –критическая точка непрерывной фу-ции f(x), тогда если f’(x) при переходе через точку х₀ слева направо меняет знак с «-»на «+» то х₀-точка лок. min;Если меняет знак с «+» на «-» то х₀-точко лок. max

2 достаточный признак сущ.экстремума:пусть х₀-критич.точка f(x) и ф-ция дважды диф-емы в окрестности х₀,тогда, если f”(x₀)<0,то х₀-т.лок.max;если f”(x₀)>0,тох₀-т.лок. min;если f”(x₀)=0,то х₀-может являться точкой лок.экстремума,а можети не являться точкой лок.экстремума

3 достаточный признак сущ.экстремума:пусть х₀-критич.точка f(x) и ф-ция f(x) n-раз диф-ма в окрестности т.х₀ причем f’(x₀)=f”(x₀)=…=f n -1 (x₀)=0 f ( n ) (x₀)0 тогда

1)если n-четное число и f ( n ) (x₀)<0,то х₀-точка лок.max

2)если n-четное и f ( n ) (x₀)>0,то х₀-точка лок.min

3.9. Бесконечно большие функции и их сравнение

Сравнивают бесконечно большие функции по тому же принципу, что и бесконечно малые. А именно:

То функция называется бесконечно большой функцией Низшего порядка роста, чем бесконечно большая функция . А функция – соответственно Высшего порядка роста, чем .

В частности, очевидно, что функции ; ; ; являются бесконечно большими при , причем каждая последующая из них – высшего порядка роста, чем предыдущая. И вообще, можно доказать (см. главу 4, §4), что любая степенная функция () при является бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем любая показательная функция (). То есть

Иначе говоря, Любая показательная функция () при растет быстрее, чем любая степенная функция ().

То бесконечно большие функции и называется Эквивалентными (равносильными), и обозначается это так:

Где А – конечное число, и , то функции и называется функциями Одного порядка роста. При этом, очевидно, что

4) Если и при , то, как и для бесконечно малых функций, получаем равенство, аналогичное (4.13):

Пример 5. Показать, что при :

Доказательство. Учтем, что (4.18) равносильно (4.17), и вычислив соответствующие пределы, убедимся, что все они равны 1:

1. Показать, что сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых функций тоже являются бесконечно малыми функциями.

2. Показать, что произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Доказать, что бесконечно малые при Функции и несравнимы между собой, то есть что предел их отношения не существует.

Функция более высокого порядка роста

Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы (и т.д.).

Проверяю это утверждение графически (с помощью сервиса http://www.yotx.ru):

График 1
Всё верно. Этот график иллюстрирует приведенное ранее у автора решение следующего предела (формула построена с помощью сервиса https://www.hostmath.com):

Линейная функция (обозначена на графике 1 синим цветом) улетает вверх (в сторону положительной бесконечности по оси Y) быстрее трех указанных логарифмических функций. Из-за этого знаменатель в указанном пределе растет быстрее числителя, в результате чего дробь под знаком предела стремится к нулю.

Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы (и т.д.) более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью.

Проверяю это утверждение графически (с помощью сервиса http://www.yotx.ru):

График 2
И тут всё верно. График 2 иллюстрирует приведенное ранее у автора решение следующего предела (формула построена с помощью сервиса https://www.hostmath.com):

Показательные функции (обозначены на графике 2 зеленым, черным и синим цветами) улетают вверх (в сторону положительной бесконечности по оси Y) быстрее степенной функции (обозначена на графике 2 красным цветом). Из-за этого знаменатель в указанном пределе растет медленнее числителя, в результате чего дробь под знаком предела стремится к положительной бесконечности.