Как быстро сложить цифры от 1 до 100

Занимательная математика: правило Гаусса

Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Далее смотрим, можно ли этот вес разбить на три равных веса:

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

• 9г, 6г
• 8г, 7г
• 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

• первая клетка — 1,
• вторая — 2,
• третья — 3,
• …
• восьмая — 8,
• девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Как быстро складывать числа 1-100: суммирование арифметических последовательностей

Видео: Сложение и вычитание чисел в пределах 100. Двузначные числа. Примеры. Математика 1 класс.

Содержание

Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс — «Математикорум принцепса»

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — один из величайших и влиятельнейших математиков всех времен. Он внес большой вклад в области математики и естествознания, и его называли Princeps Mathematicorum (На латыни «лучший из математиков»). Однако одна из самых интересных историй о Гауссе родом из его детства.

Сложение чисел от 1 до 100: как Гаусс решил проблему

История гласит, что учитель начальной школы Гаусса, будучи ленивым типом людей, решил занять класс, заставив их суммировать все числа от 1 до 100. С суммированием сотен чисел (без калькуляторов в 18 веке) Учитель думал, что это займет у класса некоторое время. Однако он не рассчитывал на математические способности молодого Гаусса, который всего через несколько секунд вернулся с правильным ответом 5050.

Гаусс понял, что можно значительно упростить вычисление, сложив числа попарно. Он сложил первое и последнее числа, второе и второе к последнему числам и так далее, заметив, что эти пары 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 и т. Д. Все дали один и тот же ответ — 101. Пройдя все числа, Путь к 50 + 51 дал ему пятьдесят пар из 101 и ответ 50 × 101 = 5050.

Суммирование целых чисел от 1 до 100 на YouTube-канале DoingMaths

Распространение метода Гаусса на другие суммы

Неизвестно, правда ли эта история на самом деле или нет, но в любом случае она дает фантастическое понимание ума выдающегося математика и введение в более быстрый метод сложения арифметических последовательностей (последовательностей чисел, образованных путем увеличения или уменьшения одного и того же номер каждый раз).

Прежде всего, давайте посмотрим, что происходит при суммировании последовательностей, подобных последовательности Гаусса, но с любым заданным числом (не обязательно 100). Для этого мы можем довольно просто расширить метод Гаусса.

Предположим, мы хотим сложить все числа до п, куда п представляет любое положительное целое число. Мы будем складывать числа попарно, с первого до последнего, от второго до последнего и так далее, как мы делали выше.

Давайте воспользуемся диаграммой, чтобы помочь нам визуализировать это.

Суммирование чисел от 1 до n

Суммирование чисел от 1 до n

Написав номер 1 п а затем повторяя их в обратном порядке ниже, мы видим, что все наши пары в сумме дают п + 1. Есть сейчас п множество п + 1 на нашей картинке, но мы получили их с помощью чисел 1 — п дважды (один раз вперед, один назад), следовательно, чтобы получить наш ответ, нам нужно вдвое уменьшить эту сумму.

Это дает нам окончательный ответ 1/2 × n (n + 1).

Используя нашу формулу

Мы можем проверить эту формулу на некоторых реальных случаях.

В примере Гаусса у нас было 1 — 100, поэтому n = 100, а общее = 1/2 × 100 × (100 + 1) = 5050.

Сумма чисел 1-200 составляет 1/2 × 200 × (200 + 1) = 20100, а в сумме чисел 1-750 получается 1/2 × 750 × (750 + 1) = 218 625.

Расширяя нашу формулу

Однако нам не нужно останавливаться на достигнутом. Арифметическая последовательность — это любая последовательность, в которой числа увеличиваются или уменьшаются каждый раз на одну и ту же величину, например 2, 4, 6, 8, 10, . и 11, 16, 21, 26, 31, . — это арифметические последовательности с увеличением на 2 и 5 соответственно.

Предположим, мы хотим просуммировать последовательность четных чисел до 60 (2, 4, 6, 8, . 58, 60). Это арифметическая последовательность с разницей между членами, равными 2.

Как и раньше, мы можем использовать простую диаграмму.

Суммирование четных чисел до 60

Суммирование четных чисел до 60

Каждая пара в сумме дает 62, но на этот раз немного сложнее узнать, сколько пар у нас есть. Если мы уменьшим вдвое члены 2, 4, . 60, мы получим последовательность 1, 2, . 30, следовательно, должно быть 30 членов.

Таким образом, у нас есть 30 лотов по 62, и снова, поскольку мы перечислили нашу последовательность дважды, нам нужно уменьшить ее вдвое, так что 1/2 × 30 × 62 = 930.

Создание общей формулы для суммирования арифметических последовательностей, когда мы знаем первый и последний члены

Из нашего примера мы можем довольно быстро увидеть, что пары всегда складываются в сумму первого и последнего чисел в последовательности. Затем мы умножаем это количество на количество имеющихся членов и делим на два, чтобы уравновесить тот факт, что мы указали каждый член дважды в наших расчетах.

Следовательно, для любой арифметической последовательности с п термины, где первый член а и последний член л можно сказать, что сумма первых п термины (обозначаемые S_п), задается формулой:

Что делать, если последний срок неизвестен?

Мы можем немного расширить нашу формулу для арифметических последовательностей, где, как мы знаем, есть п термины, но мы не знаем, что за н th срок (последний член в сумме) есть.

Например. найти сумму первых 20 членов последовательности 11, 16, 21, 26, .

Для этой задачи n = 20, a = 11 и d (разница между каждым членом) = 5.

Мы можем использовать эти факты, чтобы найти последний член л.

В нашей последовательности 20 терминов. Второй член — 11 плюс одна 5 = 16. Третий член — 11 плюс две пятерки = 21. Каждый член равен 11 плюс на одну пятерку меньше, чем его номер, то есть седьмой член будет 11 плюс шесть пятерок и так далее. Следуя этой схеме, 20 th срок должен быть 11 плюс девятнадцать пятерок = 106.

Таким образом, используя нашу предыдущую формулу, мы имеем сумму первых 20 членов = 1/2 × 20 × (11 + 106) = 1170.

Обобщение формулы

Используя метод выше, мы можем увидеть, что для последовательности с первым членом а и разница d, то п th член всегда a + (n 1) × d, то есть первый член плюс на один лот меньше d чем число термина.

Взяв нашу предыдущую формулу для суммы п условия S_п = 1/2 × n × (a + l), и подставив в l = a + (n 1) × d, получим:

который можно упростить до:

Использование этой формулы в нашем предыдущем примере суммирования первых двадцати членов последовательности 11, 16, 21, 26, . дает нам:

S_п = 1/2 × 20 × [2 × 11 + (20 1) × 5] = 1170, как и раньше.

Резюме

В этой статье мы обнаружили три формулы, которые можно использовать для суммирования арифметических последовательностей.

Для простых последовательностей вида 1, 2, 3, . n ,:

Для любой арифметической последовательности с п сроки, первый срок а, разница между терминами d и последний срок л, мы можем использовать формулы:

masterok

В XVIII веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс — будущий великий математик.

Как он это сделал?

Читайте правильный ответ

[ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ ] Он выделил 49 пар чисел: 99 и 1, 98 и 2, 97 и 3 . 51 и 49. В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100.

Для того, чтобы быть в курсе выходящих постов в этом блоге есть канал Telegram. Подписывайтесь, там будет интересная информация, которая не публикуется в блоге!

Вот еще несколько интересных задачек: вот например Старая задачка и морской обычай, а вот Головоломка, с которой справляются только 2 из 10 человек и Два человека из трёх дают неправильный ответ на эту задачу!

Как быстро сложить цифры от 1 до 100

Учитель задал детям вычислить сумму чисел от 1 до 100, пока дети складывали, один ученик решил эту задачу проще. Как он это сделал и кто он был? задача ребенок число сумма ученик учитель

Немецкий математик Гаусс.Учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам — вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.

Давайте попробуем устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.

Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.

Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100

1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.

2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.

3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.

Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.

По широко распространённой легенде школьный учитель Карла Фридриха Гаусса, когда последнему было 10 лет, предложил своим ученикам найти сумму всех натуральных чисел от одного до ста. Маленький Карл удивил всех, практически мгновенно предложив правильный ответ. Он заметил, что сумма каждой пары слагаемых, одинаково отстоящих от концов ряда натуральных чисел [1..100], равна 101 (1+100, 2+99, 3+98,…, 50+51). А поскольку число таких пар равно 100/2, то есть 50, он посчитал в уме, что искомая сумма равна 101 × 50 = 5050.

По широко распространённой легенде школьный учитель Карла Фридриха Гаусса, когда последнему было 10 лет, предложил своим ученикам найти сумму всех натуральных чисел от одного до ста. Маленький Карл удивил всех, практически мгновенно предложив правильный ответ. Он заметил, что сумма каждой пары слагаемых, одинаково отстоящих от концов ряда натуральных чисел [1..100], равна 101 (1+100, 2+99, 3+98,…, 50+51). А поскольку число таких пар равно 100/2, то есть 50, он посчитал в уме, что искомая сумма равна 101 × 50 = 5050.

Гаусс, 1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар. 2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101. 3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 50 \times 101=5050.

взял написал все числа от 1 до 100, под ними написал от 100 до 1, увидел, что в каждом столбике сумма 101. умножил 101 на 100, получив сумму всех столбиков, в потом поделил пополам, так как ему нужна была сумма только одного ряда, а не двух.

Карл Фридрих Гаус,будущий ученый математик ,в 6 лет сделал так:он отобрал 49 пар чисел в сумме образующих 100 Например 45 и 55, 99 и 1 и так далее остались две непарные цифры 100 и 50 и тогда 49 умножил на 100=4900 а потом к 4900+150=5050

Надо складывать первое число с последним, второе с предпоследним и т. д. Сумма каждой такой пары чисел равна 101 и повторяется она 50 раз.

Следовательно, сумма всех целых чисел от 1 до 100 будет равна 101 × 50 = 5050.