Сравнение чисел
В кабинет к шестиклассникам вошла Наталья Ивановна, и сообщила,что завтра в школе состоится выступление цирковой труппы, стоимость билета составляет 50 рублей. Желающие посетить представление, должны завтра принести деньги на приобретение билета. Ваня и Игнат очень хотели посмотреть выступление, договорились приобрести билеты. Однако, Игнат забыл деньги дома. Мальчик очень огорчился. Наталья Ивановна заметила грустного ученика и предложила купить билет вместо него, с условием, что мальчик принесет забытую купюру завтра. Друзья с радостью пошли на представление.
По дороге домой Ваня заметил, что теперь, Игнат должен учительнице 50 рублей, значит можно сказать, что у него имеется -50 рублей. А у Ивана, после покупки билета, осталось 0 рублей, значит у него сумма больше, чем у друга. Игнат возразил, и предположил, что у него количество денежных средств больше, если сравнить числовые значения 0 и -50 , то 50, пусть даже с минусом, значительно больше. Ребята начали спорить, в спор вступили и остальные школьники, но договориться так и не смогли. И только вечером, мама Игната зашла на сайт 100urokov.ruи доступно рассказала сыну, что 0 больше, чем -50. Мальчик целый вечер изучал наш урок, а утром с новыми знаниями, уверенно пошел в школу.
Сравнение положительных чисел с нолем
Чтобы не испытывать трудностей при выполнении сравнения положительных чисел и нуля, давайте рассмотрим задачу.
У Марины в кармане было четыре конфеты, а в Наташином кармашке лежало 0 конфет. Подумайте и объясните, у кого из девочек имелось большее количество конфет.
Изучив условие задачи, мы понимаем, что для ответа на главный вопрос задачи нужно выполнить сравнение количества Марининых сладостей с количеством сладостей, имеющихся у Натальи, то есть 4 и 0.
Давайте определим, к каким числам можно отнести значение четыре? К положительным или отрицательным?
Вспомним определение положительного:
Положительными числами называют числа со знаком +.На письме, не принято ставить знак «плюс» перед положительными числами. Считается, что если перед числом не стоит знак «минус», то число является положительным.
Исходя из определения, рассматриваемое значение считается положительным.
Переходим ко второму числу: 0.
Обязательно нужно понимать, что такое 0.
0 является целым числом, но при этом, не обозначает количество предметов.
Если будем рассматривать ноль в обычной жизни, то можно сказать иначе: 0 = «ничего».
в кассе 0 рублей = касса пуста, денег нет;
улов дедушки составил 0 рыб = дедушка ничего не поймал;
мальчик вынес во двор 0 игрушек = мальчик не вынес во двор игрушки.
Делаем вывод, что у Наташи не было конфет, а у Марины было 4 леденца.
Теперь можно выполнить сравнение положительного числа 4 с числом 0.
Даже ребенок понимает, что четыре конфетки больше, чем ничего или 0.
Из рассмотренного пояснения следует:
любое положительное число всегда будет больше, чем ноль!
Сравнение отрицательных чисел с нулем
Теперь, давайте разберемся, как сравнить отрицательное число с нулем. Для начала вспомним, какие числа называют отрицательными.
Отрицательными числами называют числа, перед которыми стоит знак минус: -5,-3,-148.
Шестиклассники собрались в поход. Но, чтобы выбрать подходящий день, нужно посмотреть прогноз погоды, и запланировать поход на более теплый день недели. Учительница дала задание детям изучить прогнозируемую температуру и решить, в какой из дней (четверг или пятницу) температура воздуха будет выше (то есть больше). По прогнозу, в четверг, температура воздуха составит 0˚C,а в пятницу -2˚C. Подумайте и объясните, на какой день недели нужно запланировать поход, исходя из прогноза синоптиков.
Чтобы разобрать данную ситуацию, нужно определить, в какой из дней на улице будет теплее, следовательно, температура воздуха будет выше (больше). Для этого необходимо сравнить прогнозируемую температуру четверга и пятницы. По условию, в четверг 0˚C, а в пятницу-2˚C. Получается, что нам нужно сравнить отрицательное число и ноль. А как это правильно сделать? В математике существует правило, которое говорит:
Ноль всегда будет больше любого отрицательного числа.
Исходя из рассмотренного правила, сравним предполагаемые показатели термометра в указанные дни:
0>-2 – ноль больше, чем минус два.
Теперь, мы можем сказать, что в четверг температура воздуха будет больше (выше), а значит, именно в этот день будет теплее.
Выполнять сравнение цифровых записей со знаком «минус» и ноля очень просто, главное помнить, что ноль всегда больше любого отрицательного числа!
Сравнение положительных и отрицательных чисел
Как выполнять сравнение положительных и отрицательных чисел с нолем мы уже знаем, а как же сравнивать числа со знаками «плюс» и «минус» между собой? Математика предусмотрела и этот вариант сравнения чисел. Существует правило сравнения положительных и отрицательных чисел.
При сравнении положительного и отрицательного числа, большим всегда будет положительное число.
Рассмотрим на примере.
Сравните числа -10 и 1.
Рассмотрев данное задание, сразу хочется сказать, что значение -10 однозначно больше, чем значение 1. Кажется, что все ясно и понятно, 10 больше 1. Но тут стоит отметить, что главную роль в сравнении значений такого вида, играет именно знак, стоящий перед числовым значением. Внимательно изучив числа, понимаем, что -10 является отрицательным числом, а 1 – число положительное, учитывая рассмотренное правило, делаем вывод, что -10 <1.
Запомни! При сравнении двух чисел с разными знаками, большим всегда будет числовое значение со знаком «плюс».
Сравнение отрицательных чисел
Теперь давайте рассмотрим, как правильно сравнивать числовые значения со знаком «минус».
Если возникла необходимость сравнить отрицательные числа, то нужно помнить простое правило сравнения отрицательных чисел.
Из двух отрицательных чисел большим будет то число, модуль которого меньше.
Разберем на примере.
Сравните два числа -5 и -10. Докажите правильность сравнения.
Вначале, кажется, что сравнивать такие числа очень просто и с этим заданием справится даже первоклассник. Но на самом деле, для выполнения сравнения данных значений необходимо соблюдать следующий алгоритм:
- определить модули сравниваемых значений;
- определить меньший модуль;
- поставить знак сравнения между сравниваемыми числами.
Чтобы верно выполнить данное задание, необходимо определить, чему равны модули -5 и -10. Вспомним, какое значение имеет модуль числа и как его вычислить?
Модуль любого числа всегда имеет только положительное значение.
Для положительного числа модуль равен этому числу:
3=|3|, 24=|24|.
Для отрицательного числового значения модуль равен противоположному числу:
-2 =|2|, -11=|11|.
Теперь мы можем определить модули -5 и -10.
Так как перед каждой записью стоит знак минус, то числа считаются отрицательными, а модуль отрицательного числа равен противоположному числовому значению самого числа.
Значит, -5 =|5|, а -10 =|10|.
Рассмотренное правило, говорит о том, что большим будет то число, которое имеет меньший модуль.
Модуль минус пяти меньше, значит -5 будет больше чем -10:-5>-10.
При выполнении сравнения значений со знаком минус важно помнить, большим будет то число, модуль которого меньше!
Сравнение числовых значений с использованием горизонтальной координатной прямой
Ну а теперь, рассмотрим еще одни способ сравнения цифровых записей с разными знаками.
Давайте начертим координатную прямую. Для этого, вспомним, что представляет собой координатная прямая.
Координатная прямая – прямая линия, имеющая направление, точку начала отсчета и единичный отрезок.
Отметим на прямой точки A(-4), C(-2), B(2),D(3).
Помни!Точки с положительным значением координаты расположены справа от точки начала отсчета, точки с отрицательным значением координаты находятся слева от точки начала отсчета.
И теперь, с помощью горизонтальной координатной прямой давайте рассмотрим математическое действие – сравнение чисел.
- Сравнение положительных и отрицательных чисел с помощью координатной прямой.
Мы знаем, что точки с положительными координатами, расположились справа от точки начала отсчета, а с отрицательными слева. На координатную прямую нанесены точки B и D, имеющие координаты со знаком «плюс». Сравним координаты данных точек.
2<3 – два меньше трех. Получается, чем правее расположена точка на координатной прямой, тем большее числовое значение будет иметь её координата. Верно и обратное утверждение, чем левее на координатной прямой находится точка, тем меньшим будет цифровое выражение её координаты. Данное правило является верным и для записей со знаком «минус».
Точка A(-4) находится левее точки C (-2). А нам известно, чем левее расположена точка на координатной прямой, тем меньшее цифровое значение будет иметь её координата. Давайте проверим данное утверждение. Для этого сравним значение координат -2 и -4.
Из двух цифровых записей со знаком «минус», большим будет та, чей модуль окажется меньшим. Найдем модули.
Сравним значение модулей: 2<4.
Выходит, что -2 имеет меньший модуль, чем -4, следовательно, большее числовое значение -2>-4.
- Сравнение положительных чисел с нолем с помощью координатной прямой.
Используя рассмотренное правило, делаем вывод, что точка с любой положительной координатой, находится на координатной прямой, правее точки начала отсчета, а значит, имеет большее числовое значение.
То есть, ноль всегда меньше любого положительного числа.
- Сравнение отрицательных чисел с нолем с помощью координатной прямой.
Любая точка, имеющая отрицательное значение координаты, всегда будет расположена левее точки 0, следовательно, любая числовая запись со знаком «минус» всегда меньше 0.
Сравнивать очень просто и интересно, главное запомнить простые правила сравнения и верно использовать их при выполнении заданий!
Правила знаков
Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.
Рассмотрим подробней основные правила знаков.
Деление.
Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».
Умножение.
Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».
Вычитание и сложение.
Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.
что больше1/2 или 1/3
Почему? Давай разберем. Я предлагаю первый способ, как узнать, какая дробь больше.
Итак, имеем 1/2 и 1/3. Знаменатели разные. Пусть в данном случае сравнить легко, но бывают дроби тяжелее. Будем считать, что не знаем, что больше: 1/2 или 1/3. Поэтому приведем к наименьшему общему знаменателю. Для этого произведение всех простых множителей одной дроби (в данном случае у нас только 2) надо умножить на недостающие простые множители другой дроби (в данном случае у нас 3). 2 умножить на 3 — 6. Теперь разделим 6 на каждый знаменатель, а то что получится умножим на числитель: 6/2 и умножить на 1 — 3, 6/3 и умножить на 1 — 2. Получим две дроби с одинаковыми знаменателями: 3/6 и 2/6. Видно, что 3/6 > 2/6. Значит, 1/2 > 1/3.
Вот другой способ: разделить 1 на 2 и умножить на 100 %. Будет 50 %. Теперь то же сделаем с 1/3: 1 делим на 3 и умножаем на 100 %. Получим приблизительно 33 %. 50 % > 33 %, значит, 1/2 > 1/3.
Берешь целое и делишь пополам. Потом берешь целое и делишь на три части. Сравниваешь, что больше половина или треть.
Покупаем с приятелем литр водки-и понимаем, что 1\2 бутылки на каждого будет много! переблюемся! Ищем третьего. Находим, и на каждого приходится по 1\3 бутылки. Это уже нормально-в мозгах весело и в канаве не валяешься.
бля. 1/2 это половина. 1/3 это треть так что больше то?
конечно 1/2! Что значит разделить торт на 2 равные части, а что значит разделить его на 3 части. Когда делишь на 2 куски больше!
0 Больше или меньше отрицательного числа
Проще всего посмеяться над людьми, не понимающими основ арифметики, однако не стоит с этим спешить. Отрицательные числа мучили наш разум столетиями и делают это до сих пор. Именно поэтому подземные этажи зданий принято обозначать буквами (например, LG — lower ground («подземный этаж») и B — basement («подвальный этаж»)) или алфавитно-цифровыми знаками (скажем, B1, B2 и B3), а не отрицательными числами (–1, –2 и –3). Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в –300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor — «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.
Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчёта и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить. Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают ещё три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 − 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаём одну, у нас остаётся ещё одна. Но что значит 2 − 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я всё же могу это сделать — тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, её отсутствие, причём такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.
Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин — правда, в определённой степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в чёрный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Китайцы размещали палочки на разграфлённой доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из чёрных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось. Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы.
Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст — деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий — отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму. Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввёл число ноль в его современном понимании.
Долг минус ноль — это долг.
Имущество минус ноль — это имущество. Ноль минус ноль — это ноль.
Долг, вычтенный из нуля, — это имущество. Имущество, вычтенное из нуля, — это долг. И так далее.
Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время. Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века — и в Испании. Тем не менее понадобилось ещё три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе. Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.
Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа (numeri absurdi), и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел. Рассмотрим такое уравнение:
С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (−1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (−1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности. Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:
Что эквивалентно ряду:
По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значение знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число) , дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».
В этом смешении разных мнений прозвучала одна чёткая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел. В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось, на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдёт от ноля вперёд на пять ярдов, а затем вернётся назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто. А значит, −3 — это та же точка на линии, что и +3, но не вперёд, как должно быть, а назад». Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось — самая успешная разъяснительная схема всех времён. У неё множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.
Любое отрицательное число больше или меньше нуля?
По своему ОПРЕДЕЛЕНИЮ. Понимаешь, что такое "по определению"? Вот я говорю, знамя — это флаг. Это определение знамени, оно объясняет, что такое знамя. Теперь я спрашиваю, почему знамя — это флаг? Правильный ответ: По своему определению. Потому что знамя — это флаг. Так вот отрицательными числами называются числа, меньшие нуля. Поэтому они ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ меньше нуля, а поскольку нуль меньше всех положительных чисел, то они и меньше всех положительных чисел. Понятно? Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль
- Помогите: Биология 6 класс номер 69 (Сонина) 1)Дайте определения понятий Теплокровные животные это-. Холоднокровные животные это-. 2)Приведите примеры животных,которые относятся к этим группам Тепелокровные________? Холоднокровные_______?
- Если на вертикально установленную пружину длиной 20 см положить груз, длина пружиныстанет равной 18 см. Какой минимальной величины будет длина пружины, если тот же грузуронить на нее с высоты 8 см. Ось пружины остается вертикальной.
- Найдите в произведении Маяковского: "Необычное приключение, бывшее в Владимиром Маяковским летом на даче", неологизмы. Объясните как они помогают экономно создать картину необычайного приключения.
- Квадрат разрезали на прямоугольники так что любая прямая,параллельная одной из сторон квадрата и не содержащая сторон прямоугольников,пересекает ровно 40 прямоугольников.На какое наименьшее число прямоугольников мог быть разрезан квадрат? Варианты ответа: А.80 Б.156 В.160 Г.1600 Д.3200
В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание — например, выражение 3 + 4 − 5 <displaystyle 3+4-5>допустимо, а выражение с переставленными операндами 3 − 5 + 4 <displaystyle 3-5+4>недопустимо.
Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел ». При дальнейших расширениях множества чисел рациональными или вещественными числами для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для комплексных чисел упорядоченность не определена, и понятия «отрицательное число» не существует.
Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля:
Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).
Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.
Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).
Например, −10 градусов холода:
Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).
При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.
Координатная прямая
Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:
Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.
Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.
Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞ , а положительное символом +∞ . Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:
Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.
Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:
Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.
Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:
Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B .
Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:
Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.
Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O
Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.
Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.
Сравнение отрицательных и положительных чисел
Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.
Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3
Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что
Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.
Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.
Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1
Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что
Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.
Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3
Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что
Ноль больше, чем минус три
Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.
Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:
Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что
В статье ниже озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его в решении практических задач.
Правило сравнения отрицательных чисел
В основе правила – сравнение модулей исходных данных. По сути, сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.
При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; бОльшим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.
Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным.
Геометрическое толкование подтверждает принцип, озвученный в указанном правиле: на координатной прямой отрицательное число, которое является меньшим, находится левее, чем большее отрицательное. Это утверждение, в общем, верно для любых чисел.
Примеры сравнения отрицательных чисел
Самым простым примером сравнения отрицательных чисел является сравнение целых чисел. С подобной задачи и начнем.
Необходимо сравнить отрицательные числа — 65 и — 23 .
Решение
Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. | — 65 | = 65 и | — 23 | = 23 . Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23 . Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим: — 65 — 23 .
Ответ: — 65 — 23 .
Чуть сложнее сравнивать отрицательные рациональные числа: действие в конечном счете приводит к сравнению обыкновенных или десятичных дробей.
Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: — 4 3 14 или — 4 , 7 .
Решение
Определим модули сравниваемых чисел. — 4 3 14 = 4 3 14 и | — 4 , 7 | = 4 , 7 . Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, так что приступим к сравнению дробных частей: 3 14 и 0 , 7 . Осуществим перевод десятичной дроби 0 , 7 в обыкновенную: 7 10 , найдем общие знаменатели сравниваемых дробей, получим: 15 70 и 49 70 . Тогда результатом сравнения станет: 15 70 49 70 или 3 14 0 , 7 . Таким образом, 4 3 14 4 , 7 . fff Применив правило сравнения отрицательных чисел, имеем: — 4 3 14 — 4 , 7
Также можно было осуществить сравнение путем перевода обыкновенной дроби в десятичную. Разница – лишь в удобстве вычисления.
Ответ: — 4 3 14 — 4 , 7
Сравнение отрицательных действительных чисел производится согласно тому же правилу.