Что такое эпсилон в математике

автор: admin
05.06.2023

Числа Эпсилона (математика) — Epsilon numbers (mathematics)

В математике эпсилон числа — это набор трансфинитных чисел, определяющим свойством которых является то, что они являются фиксированными точками на экспоненциальной карте . Следовательно, они недостижимы из 0 с помощью конечной серии приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε, которые удовлетворяют уравнению

в котором ω это наименьший бесконечный порядковый номер.

Наименьший такой порядковый номер — ε0(произносится как эпсилон ноль или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинита. рекурсия из последовательности меньших предельных ординалов:

Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате в ε 1, ε 2,…, ε ω, ε ω + 1,…, ε ε 0,…, ε ε 1,…, ε ε ε ⋅ ⋅ ⋅,… <\ displaystyle \ varepsilon _ <1 >, \ varepsilon _ <2>, \ ldots, \ varepsilon _ <\ omega>, \ varepsilon _ <\ omega +1>, \ ldots, \ varepsilon _ <\ varepsilon _ <0>>, \ ldots, \ varepsilon _ <\ varepsilon _ <1>>, \ ldots, \ varepsilon _ <\ varepsilon _ <\ varepsilon _ <\ cdot _ <\ cdot _ <\ cdot>>>>>, \ ldots> . Порядковый номер ε 0 по-прежнему счетный, как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые числа и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).

Многие большие эпсилон-числа могут быть определены с помощью функции Веблена.

Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в системе сюрреалистических чисел, состоящей из всех сюрреалей, которые являются неподвижными точками базового ω экспоненциального отображения x → ω.

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

α 0 = 1, <\ displaystyle \ alpha ^ <0>знак равно 1 \,,>
α β + 1 = α β ⋅ α, <\ Displaystyle \ альфа ^ <\ бета +1>= \ альфа ^ <\ бета>\ cdot \ alpha \,, >
α κ = lim sup λ для limit κ <\ displaystyle \ kappa>.

Из этого определения следует, что для любого фиксированного порядкового номера α>1 отображение β ↦ α β <\ displ aystyle \ beta \ mapsto \ alpha ^ <\ beta>> — это нормальная функция, поэтому она имеет произвольно большие фиксированные точки с помощью fixed- точечная лемма для нормальных функций. Когда α = ω <\ displaystyle \ alpha = \ omega>, эти фиксированные точки являются в точности порядковыми эпсилон-числами. Наименьшее из них, ε₀, является верхней гранью последовательности

0, ω 0 = 1, ω 1 = ω, ω ω, ω ω ω,…, ω ↑↑ k,… <\ displaystyle 0, \ omega ^ <0>= 1, \ omega ^ <1>= \ omega, \ omega ^ <\ omega>, \ omega ^ <\ omega ^ <\ omega>>, \ ldots, \ omega \ uparrow \ uparrow k, \ ldots>

, в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении β ↦ ω β <\ displaystyle \ beta \ mapsto \ omega ^ <\ beta>> . (Общий термин дается с использованием обозначения стрелки Кнута вверх ; оператор ↑↑ <\ displaystyle \ uparrow \ uparrow>эквивалентен тетрации.) Так же, как ω определяется как верхняя грань <ω>для натуральных чисел k, наименьшее порядковое эпсилон-число ε₀ может также обозначаться ω ↑↑ ω <\ displaystyle \ omega \ uparrow \ uparrow \ omega>; это обозначение гораздо реже, чем ε₀.

Следующее эпсилон-число после ε 0 <\ displaystyle \ varepsilon _ <0>> равно

, в котором последовательность снова строится путем повторения возведения в степень по основанию ω, но вместо этого начинается с ε 0 + 1 <\ displaystyle \ varepsilon _ <0>+1> из в 0. Обратите внимание

Другая последовательность с тем же супремумом, ε 1 <\ displaystyle \ varepsilon _ <1>> , получается путем начала с 0 и возведения в степень с основанием ε₀ вместо этого:

Эпсилон-число ε α + 1 <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ alpha +1>> , индексируемое любым последующим порядковым номером α + 1 строится аналогично, путем возведения в степень по основанию ω, начиная с ε α + 1 <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ alpha>+1> (или по основанию ε α <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ alpha>> возведение в степень, начиная с 0).

Эпсилон-число с индексом предельный ординал α строится иначе. Число ε α <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ alpha>> — это верхняя грань набора чисел эпсилон <ε β, β . Первое такое число - ε ω <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ omega>> . Независимо от того, является ли индекс α предельным порядковым номером, ε α <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ alpha>> является фиксированной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но также и по основе возведения в степень γ для все порядковые числа 1 .

Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:

Хотя это довольно большое число, ε 0 <\ displaystyle \ varepsilon _ <0>> по-прежнему счетный, являясь счетным объединением счетных порядковых чисел; фактически, ε α <\ displaystyle \ varepsilon _ <\ alpha>> является счетным тогда и только тогда, когда α <\ displaystyle \ alpha>является счетным.
Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например,

любой несчетныйкардинал является эпсилонным числом.

Представление ε 0 <\ displaystyle \ varepsilon _ <0>> по корневым деревьям

Любое эпсилон-число ε имеет нормальную форму Кантора ε = ω ε <\ displaystyle \ varepsilon = \ omega ^ < \ varepsilon>> , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы меньше ε 0 могут быть с пользой описаны с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε 0 как упорядоченного набора всех конечных корневых деревья следующим образом. Любой порядковый номер α имеет нормальную форму Кантора α = ω β 1 + ω β 2 + ⋯ + ω β k <\ displaystyle \ alpha = \ omega ^ <\ beta _ <1>> + \ omega ^ <\ beta _ <2>> + \ cdots + \ omega ^ <\ beta _ >> где k — натуральное число, а β 1,…, β k <\ displaystyle \ beta _ <1>, \ ldots, \ beta _ > — порядковые числа с α>β 1 ≥ ⋯ ≥ β k <\ displaystyle \ alpha>\ beta _ <1>\ geq \ cdots \ geq \ beta _ > , однозначно определяется α <\ displaystyle \ alpha>. ординалы β 1,…, β k <\ displaystyle \ beta _ <1>, \ ldots, \ beta _ > , в свою очередь, имеют аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих β 1,…, β k <\ displaystyle \ beta _ <1>, \ ldots, \ beta _ > с новый корень (это приводит к тому, что th Число 0 представлено одним корнем, а число 1 = ω 0 <\ displaystyle 1 = \ omega ^ <0>> представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится хорошо упорядоченным множеством, которое по порядку изоморфно ε 0.

иерархии Веблена

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» Икс ↦ ε Икс <\ Displaystyle x \ mapsto \ varepsilon _ > образуют нормальную функцию, фиксированные точки которой образуют нормальную функцию, чья…; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ 0 (α) = ω). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение — это φ 1, а его неподвижные точки пронумерованы как φ 2.

. Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ α для прогрессивно увеличивающиеся ординалы α (включая, посредством этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы), с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ α + 1 (0). Наименьший порядковый номер, недоступный из 0 с помощью этой процедуры — i. е., наименьший порядковый номер α, для которого φ α (0) = α, или, что то же самое, первая фиксированная точка карты α ↦ φ α (0) <\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ varphi _ <\ alpha>(0)> — это порядковый номер Фефермана – Шютте Γ0. В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, имеется отображение Γ, в котором перечислены неподвижные точки Γ 0, Γ 1, Γ 2. из α ↦ φ α (0) <\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ varphi _ <\ alpha>(0)> ; это все еще числа эпсилон, поскольку они лежат в образе φ β для каждого β ≤ Γ 0, включая карту φ 1, которая перечисляет эпсилон числа.

Сюрреалистические ε-числа

В On Numbers and Games классическое изложение сюрреалистических чисел, Джон Хортон Конвей предоставил ряд примеров концептов, которые имели естественные расширения от ординалов до сюрреалов. Одной из таких функций является ω <\ displaystyle \ omega>-map n ↦ ω n <\ displaystyle n \ mapsto \ omega ^ > ; это отображение естественным образом обобщается, чтобы включить все сюрреалистические числа в его область, что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.

Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты эпсилон-числом, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных эпсилон-чисел:

Существует естественный способ определить ε n <\ displaystyle \ varepsilon _ > для каждого сюрреалистического числа n, и карта сохраняет порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.

Эпсилон

Ε , ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е. Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.

Использование

Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.

В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:

в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
в алгебре — предельное порядковое число последовательности $\omega,\omega^<\omega>,\omega^<\omega^<\omega>>,\dots» width=»» height=»» />.</li> <li>в теории множеств — отношение принадлежности элемента множеству (такое обозначение является устаревшим, сейчас для той же цели используется символ ∈);</li> <li>в тензорном исчислении — символ Леви-Чивиты;</li> <li>в теории автоматов — эпсилон-переход;</li> <li>в физике — угловое ускорение; коэффициент экстинкции оптического поглощения; проводимость среды; электронный захват; относительное удлинение; диэлектрическая проницаемость среды; энергия активации; ЭДС; ε<sub>0</sub> — универсальная электрическая постоянная.</li> <li>в астрономии — пятая (как правило) по яркостизвезда в созвездии;</li> <li>в программировании — точность численного типа данных;</li> <li>в информатике — пустая строка;</li> <li>в фонетике — неогубленный гласный переднего ряда средне-нижнего подъёма.</li> <li>в теории метаболического контроля — эластичность фермента</li> </ul> <ul> <li>Греческие буквы</li> </ul> <p> <em>Wikimedia Foundation . 2010 .</em> </p> <h4>Полезное</h4> <h4>Смотреть что такое «Эпсилон» в других словарях:</h4> <p><strong>эпсилон</strong> — сущ., кол во синонимов: 1 • буква (103) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов</p> <p><strong>эпсилон</strong> — эпсилон, а (название буквы) … Русский орфографический словарь</p> <p><strong>эпсилон</strong> — Обозначение, обычно приписываемое интерметаллическим, металл металлоид и металл неметалл соединениям, встречающимся в системах железных сплавов, например: Fe3Mo2, FeSi и Fe3P. [http://sl3d.ru/o slovare.html] Тематики машиностроение в целом … Справочник технического переводчика</p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Эпсилон (ε) — Epsilon (ε) Эпсилон (ε). Обозначение, обычно приписываемое интерметаллическим, металл металлоид и металл неметалл соединениям, встречающимся в системах железных сплавов, например Fe3Mo2, FeSi и Fe3P. (Источник: «Металлы и сплавы. Справочник.» Под … Словарь металлургических терминов

Эпсилон-салон — Эпсилон салон самиздатский литературный альманах, выпускавшийся в 1985 1989 гг. в Москве Николаем Байтовым и Александром Барашом. Вышло 18 выпусков, каждый по 70 80 страниц, в машинописном исполнении, тиражом 9 экземпляров. По словам… … Википедия

Эпсилон (буква) — Греческий алфавит Α α альфа Β β бета … Википедия

Эпсилон Эридана b — Экзопланета Списки экзопланет Эпсилон Эридана b. Представление художника … Википедия

Эпсилон Южной Короны — AB Двойная звезда Наблюдательные данные (Эпоха J2000.0) Тип Затменная переменная Прямое восхождение … Википедия

Эпсилон-энтропия — или ε энтропия термин, введённый А. Н. Колмогоровым для характеристики классов функций. Он определяет меру сложности функции, минимальное количество знаков, необходимое для задания функции с точностью … Википедия

Эпсилон Персея — A/B Звезда Наблюдательные данные (Эпоха J2000,0) Тип BCEP Прямое восхождение … Википедия

Что такое Эпсилон в математическом анализе?

В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются: в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности; в алгебре — предельное порядковое число последовательности

Что показывает эпсилон?

έψιλον, др. -греч. ἒ ψιλόν) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5.

Что значит слово эпсилон?

Эпсилон (Ε, ε) — пятая буква греческого алфавита. Также может означать: Эпсилон — буква латиницы. «Эпсилон» — японская трёхступенчатая твердотопливная ракета-носитель лёгкого класса.

Как обозначается эпсилон?

Ɛ, ε (эпсилон/открытая E) — буква расширенной латиницы, входящая в африканский алфавит и МФА. Обозначает неогублённый гласный переднего ряда средне-нижнего подъёма. В паннигерийском алфавите соответствует букве Е с точкой снизу (Ẹ).

Чему равна эпсилон?

ε0 ≈ 8,85418781762039 · 10−12 м−3·кг−1·с4·А2.

Чему равен эпсилон воздуха?

Статическая проницаемость некоторых диэлектриковСтатическая диэлектрическая проницаемость материалов (таблица)ВеществоХимическая формулаХарактерное значение εrВоздух-1,00058986 ± 0,00000050Углекислый газ1,0009Тефлон (политетрафторэтилен, фторопласт)2,1

Как найти эпсилон в электростатике?

Любая среда уменьшает действие электрического поля. Относительная диэлектрическая проницаемость (ε) — число, показывающее во сколько раз кулоновская сила в вакууме больше такой же силы в данной среде: ε = Fвак/Fср.

Что такое эпсилон в последовательности?

Существуют последовательности, величина членов которых при неограниченном росте их номеров приближается к определенному числу сколь угодно близко. Тогда это число называется пределом последовательности, а сама последовательность называется сходящейся(к этому пределу).

Как написать знак эпсилон в ворде?

ε — Греческая строчная буква эпсилон: U+03B5 epsilon — Таблица символов Юникода

Что такое альфа в математике?

Альфа — это название первой буквы греческого алфавита. Этот символ может использоваться в математике, логике и т. п. 2.

Что такое е0?

(e0) (по старой терминологии — диэлектрич. проницаемость вакуума), физ. постоянная, входящая в ур-ния законов электрич.

Что такое Эпсилон в математическом анализе? Ответы пользователей

. поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E. В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются: в математическом анализе .

Добрый день. уважаемые форумчане ! Здесь я первый раз и, соответственно, создаю первую тему, поэтому прошу вас быть ко мне снисходительными.

@темы: Математический анализ . величина, зависящая от эпсилон . это окрестности: при анализе функций эпсилон — окрестность аргумента, .

Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому . Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его .

Именно такое значение имеет эпсилон в математическом анализе. Мы можем гарантировать, что для любой величины d всегда найдется такое n, .

в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности; в алгебре .

Рассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и .

PS: в анализе неуч, но здесь, я думаю, ничего не напутал. В чём состоял вопрос — как видно, угадал… Можно воспринимать эпсилоны, дельты и .

Greek lunate epsilon symbol on font lines.svg . в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; .

Что такое Эпсилон в математическом анализе? Видео-ответы

Число e — 2,718. Объяснение математического смысла.

Число е имеет не менее важное значение чем другие общепринятые константы, например число Пи или число Фи. Но по .

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

В данном видео представлено определение предела на эпсилон-дельта языке (языке окрестностей). Это видео — русская .

Как найти эпсилон в математике

https://amdy.su/wp-admin/options-general.php?page=ad-inserter.php#tab-8

Добрый день. уважаемые форумчане !
Здесь я первый раз и, соответственно, создаю первую тему, поэтому прошу вас быть ко мне снисходительными.
Ввиду начала изучения теории пределов у меня возникли вопросы.

1. Предел последовательности.
Цитирую:

Число а называется пределом последовательности $<x_n>$» />, если для любого положительного числа <img decoding= найдется такое натуральное число N, что при всех $n > N$ выполняется неравенство
$|x_n - a| < varepsilon$

2. Геометрический смысл того же предела последовательности:

Число а называется пределом последовательности $<x_n>$» />, если для любой <img decoding= -окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения $x_n$ , для которых $n > N$ , попадут в $varepsilon$ -окрестность точки а.

Не могу понять, откуда здесь вообще число эпсилон ? Меня удивляет то, что вплоть до определения предела последовательности числа $varepsilon$ не было как такового. Сути эпсилон в данном определении я не понимаю категорически. За что конкретно отвечает переменная $N, n и ε$ ? Будьте добры, разьясните мне, пожалуйста, смысл эпсилона.

Да, и ещё: «N» — это номер последовательности или число из последовательности ? Аналогично и с «n».

Я просмотрел дальше определение предела функции — это ещё закрученнее, чем я ожидал. Если определение предела функции по Гейне более-менее понятно (при том, что я не понимаю предела последовательности ), то определение предела функции по Коши или на «языке $varepsilon$ – $delta$ » для меня равносильно китайскому.

Заранее благодарен за ответ.

Let $0<varepsilon<1$ be a small number; then we have $$(c+varepsilon)^2=c^2+2varepsilon c+varepsilon^2le c^2+4varepsilon+varepsilon=c^2+5varepsilon$$ since $cle2$ and $varepsilon^2levarepsilon$. Since $c^2<2$, we see that we can choose an $0<varepsilon<1$ such that $c^2+5varepsilon<2$, thus $(c+varepsilon)^2<2$.

We can prove (by Archimedean property) that

Lemma 1. For any positive number $x>0$ there exists
a positive integer $N$ such that $x>1/N>0$.

Now, we want an $varepsilon$ such that $c^2+5varepsilon<2$, i.e., an $varepsilon$ such that $varepsilon<(2-c^2)/5$, which exists by Lemma 1.

In your case, since $0<(2-c^2)/(c+2)$, there is a $N$ such that $1/N<(2-c^2)/(c+2)$. Now, we can define $varepsilon:=1/N$.

The key is, supposing that there is such $varepsilon$, find some relation between $(x+varepsilon)^2$ and $x^2+Kvarepsilon$. Suppose $x^n<y$. There is many relations:

First (Binomial formula): $$sum_^nbinomx^varepsilon^k.$$ Then use the expansion to obtain $(x+varepsilon)^nle x^n+x^varepsilon+dotsb<y$.
Second: $$(x+varepsilon)^nle x^n+varepsilon((x+1)^n-x^n).$$
Then you can find $varepsilon$ such that $(x+varepsilon)^n<x$, just take a $varepsilon$ such that $$0<varepsilon<minleft<(x+1)^n-x^n>,1right>,$$
which surely exists.
Third: $$(x+varepsilon)^nle x^n+kvarepsilon$$
for some $kinBbb R$. Then you obtain $(x+varepsilon)^nle x^n+kvarepsilon<y$, as desired.

All formulae are proved by induction on $m$.

A way to obtain this type of relations is see the behavior when $n$ increase.
For instance, let $x,y>0$ be rational numbers, and let $nge1$ be a integer number. We want to find some relation of the form $(x+varepsilon)^nle x^n+Kvarepsilon$ for some $varepsilon$ between $0$ and $1$.

Note that $varepsilon^nlevarepsilon$ for every $n$. Also, note that $varepsilon$ always exists by Archimedean property.

Using some algebra, we can expand $(x+varepsilon)^n$ when $n=1,2,3,4,5,dots$
$$begin(x+varepsilon)^2&=x^2+2xvarepsilon+varepsilon^2\&le x^2+2xvarepsilon+varepsilon\&=x^2+varepsilon(2x+1)\\(x+varepsilon)^3&=x^3+3x^2varepsilon+3xvarepsilon^2+varepsilon^3\&le x^3+3x^2varepsilon+3xvarepsilon+varepsilon\&=x^3+varepsilon(3x^2+3x+1)\\(x+varepsilon)^4&=x^4+4x^3varepsilon+6x^2varepsilon^2+4xvarepsilon^3+varepsilon^4\&le x^4+4x^3varepsilon+6x^2varepsilon+4xvarepsilon+varepsilon\&=x^4+varepsilon(4x^3+6x^2+4x+1)\&;;vdotsend$$

So we have
$$begin(x+varepsilon)^2&le x^2+varepsilon(2x+1)\(x+varepsilon)^3&le x^3+varepsilon(3x^2+3x+1)\(x+varepsilon)^4&le x^4+varepsilon(4x^3+6x^2+4x+1)\(x+varepsilon)^5&le x^5+varepsilon(5x^4+10x^3+10x^2+5x+1)\(x+varepsilon)^6&le x^6+varepsilon(6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)\&;;vdotsend$$

Now, suppose that $xle1$; so $x^nle 1$ for every $n$. Thus
$$begin(x+varepsilon)^2&le x^2+3varepsilon\(x+varepsilon)^3&le x^3+7varepsilon\(x+varepsilon)^4&le x^4+15varepsilon\(x+varepsilon)^5&le x^4+31varepsilon\(x+varepsilon)^6&le x^4+63varepsilon\&;;vdots\end$$

Clearly, the relation from this is $$(x+varepsilon)^nle x^n+(2^n-1)varepsilon.$$ (We can prove this by induction.)

Similarly, suppose $x>1$; so $x^nge x$ for every $n$. We can prove the relation $(x+varepsilon)^nle x^n+(2^n-1)x^varepsilon.$

But, if we don’t want divide in cases, we can prove the relation $$(x+varepsilon)^nle x^n+n(2^n-1)(1+x)^nvarepsilon.$$
(To see this relation, try to prove the above relations and think how avoid the cases when some $k$ ensures the relation $(x+k)^nge x+k$.)

Тип трансфинитных чисел

в котором ω это наименьший бесконечный порядковый номер.

Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате в ε 1, ε 2,…, ε ω, ε ω + 1,…, ε ε 0,…, ε ε 1,…, ε ε ε ⋅ ⋅ ⋅,… < displaystyle varepsilon _ <1 >, varepsilon _ <2>, ldots, varepsilon _ < omega>, varepsilon _ < omega +1>, ldots, varepsilon _ < varepsilon _ <0>>, ldots, varepsilon _ < varepsilon _ <1>>, ldots, varepsilon _ < varepsilon _ < varepsilon _ < cdot _ < cdot _ < cdot>>>>>, ldots>. Порядковый номер ε 0 по-прежнему счетный, как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые числа и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).

Наименьшее эпсилон-число ε 0 встречается во многих доказательствах индукции, потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε 0 (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудстейна ). Его использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано, наряду со второй теоремой Гёделя о неполноте, показывает, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименьший порядковый номер с этим свойством, и как таковой в теории доказательств порядковый анализ используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие эпсилон-числа могут быть определены с помощью функции Веблена.

Hessenberg (1906) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHessenberg1906 (help ) определил гамма-числа (см. аддитивно неразложимый порядковый номер ) как числа γ>0, такие что α + γ = γ всякий раз, когда α <γ, and delta numbers (see аддитивно неразложимый порядковый номер # Мультипликативно неразложимый ), чтобы быть числами δ>1 такими, что αδ = δ всякий раз, когда 0 <α<δ, and epsilon numbers to be numbers ε>2 такие, что α = ε всякий раз, когда 1 <α<ε. His gamma numbers are those of the form ω, and his delta numbers are those of the form ω.