Как умножать и делить целые числа

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Умножение, сложение, вычитание и деление — основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Сложение целых чисел. Основные свойства

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел ℕ . Приведем ниже основные свойства сложения.

Коммутативное свойство сложения

Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Согласно этому свойству, справедливо равенство:

35 + 251 = 251 + 35

Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

— 528 + 3700 = 3700 + — 528

Ассоциативное свойство сложения

Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

a + b + c = a + b + c

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:

64 + 81 + ( — 49 ) = 64 + 81 + ( — 49 ) = 64 + 81 + ( — 49 );

( 128 + ( — 75 ) ) + 96 = 128 + ( ( — 75 ) + 96 ).

Свойства сложения, связанные с числом 0

1. Число нуль — нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

Умножение целых чисел. Основные свойства

Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

Переместительное свойство умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2 · 3 эквивалентно произведению 3 · 2 .

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:

a · ( b · c ) = ( a · b ) · c

a , b , c — произвольные целые числа.

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:

— 12 · 3 · 8 = — 12 · 3 · 8 ;

119 · ( ( — 251 ) · 36 ) = ( 119 · ( — 251 ) ) · 36 .

Умножение числа на нуль

Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

a · b = 0 если a = 0 или b = 0 .

Умножение числа на единицу

Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a · b и a · c .

a · ( b + c ) = a · b + a · c

Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание целых чисел. Основные свойства

Вычитание — действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b + c равна a . Можно сказать, что разность чисел a и b — это сумма чисел a и — b . Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

Основные свойства вычитания

1. Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a = b . a — b ≠ b — a .
2. Разность целых чисел, равных друг другу: a — a = 0 .
3. Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a — ( b + c ) = a — b — c .
4. Вычитание целого числа из суммы: a + b — c = a — c + b = a + ( b — c ) .
5. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a · ( b — c ) = a · b — a · c .

Деление целых чисел. Основные свойства

Деление — операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b , когда произведение b · c равно a . Запишем основные свойства деления целых чисел.

Что такое целое число

Целыми числами называются все натуральные числа, все числа противоположные им по знаку и нуль.

Обозначается множество целых чисел $Z$ .

Очевидным является такое вложение $N \subset Z$ .

На множестве целых чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение целых чисел

• если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $s=n+p$ ;
• если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $s=-(|n|+|p|)$ ;
• если $n>0$ и $p \lt 0$ $|n| \geq|p|$ , то $s=|n|-|p|$ ;
• если $n>0$ и $p \lt 0$ $|n| \lt |p|$ , то $s=-(|p|-|n|)$ ;
• если $n \lt 0$ и $p>0$ $|n|>|p|$ , то $s=-(|n|-|p|)$ ;
• если $n \lt 0$ и $p>0$ $|n| \leq|p|$ , то $s=|p|-|n|$ .

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Задание. Вычислить сумму целых чисел:

Решение. 1) 1) $5+19=24$

2) первое слагаемое положительное, а второе отрицательное и модуль второго слагаемого больше модуля первого слагаемое, поэтому сумма будет равна

3) первое слагаемое отрицательное, а второе положительное и модуль второго слагаемого больше первого, сумма при этом будет равна

4) оба слагаемых отрицательные числа, таким образом, их сумма равна

Ответ.

Умножение целых чисел

Произведением двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $m$, вычисляемое по правилу:

• если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $m=n \cdot p$ ;
• если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $m=|n| \cdot|p|$ ;
• если $n>0$ и $p \lt 0$ или если $n \lt 0$ и $p>0$ , то $s=-(|n| \cdot|p|)$ ;
• если $n=0$ или $p=0$ , то $m=0$ .

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Задание. Найти произведение целых чисел:

$1)5 \cdot 9 \quad;\quad 2 ) 5 \cdot(-9) \quad;\quad 3 )-5 \cdot(-9) \quad;\quad 4 ) 5 \cdot 0$

Решение. 1) $5 \cdot 9=45$

2) первый множитель положительный, а второй отрицательный, произведение будет также числом отрицательным:

3) оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение число положительное:

$$-5 \cdot(-9)=|-5| \cdot|-9|=5 \cdot 9=45$$

4) при умножении на нуль всегда в результате получаем нуль:

Ответ.

Вычитание целых чисел

Разностью двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $r$, вычисляемое по правилу

т. е. разность двух целых чисел $n$ и $p$ есть сумма целого с числа $n$ и числа $(-p)$ , противоположного числу $p$. Следовательно, разность вычисляется по правилу сложения двух целых чисел.

Подробнее о вычитании чисел читайте по ссылке.

Задание. Найти разность чисел:

$1 )-27-13 \quad;\quad 2 ) 27-(-5)$

Решение. По правилу вычитания целых чисел первое выражение примет вид:

По правилу сложения целых чисел это равно:

Второе выражение запишется в виде:

Ответ.

Деление целых чисел

Частным от деления целого числа $m$ на целое число $n$ ( $n \neq 0$ ) называется целое число $p$, которое удовлетворяет правилу: $m=n \cdot p$ . О числе $p$ говорят, что оно получено в результате деления числа $m$ на число $n$, и пишут:

На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима — не для любой пары целых чисел существует частное. Поэтому говорят, что множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.

Числа. Целые числа. Свойства целых чисел.

Целые числа – это натуральные числа, а также противоположные им числа и нуль.

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N, которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n. Множество целых чисел обозначают Z.

Сумма, разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Целые числа на числовой оси:

Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.

Натуральные числа еще называются положительными целыми числами, т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.

Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.

Говоря простым языком, целые числа — это (∞. -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. + ∞) – последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть (<>) равна нулю. Они не имеют долей.

Натуральные числа — это целые, положительные числа. Целые числа, примеры: (1,2,3,4. + ∞).

Операции над целыми числами.

1. Сумма целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.

2. Вычитание целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.

3. Умножение целых чисел.

Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного.

Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.

4. Деление целых чисел.

Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, – если разные.

Свойства целых чисел.

Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c.

Как умножать и делить целые числа

Целые числа — это положительные или отрицательные числа без дробей и десятичных знаков. Умножение и деление 2 или более целых чисел мало чем отличается от тех же операций с только положительными числами. Существенная разница представлена знаком минус, который всегда необходимо учитывать. Учитывая знак, можно нормально переходить к умножению.

Общая информация

Шаг 1. Научитесь распознавать целые числа

Целое число — это круглое число, которое может быть представлено без дробей и десятичных знаков. Целые числа могут быть положительными, отрицательными или нулевыми (0). Например, это целые числа: 1, 99, -217 и 0. Хотя это не так: -10,4, 6 ¾, 2,1 2 .

Абсолютные значения могут быть целыми числами, но это не обязательно. Абсолютное значение любого числа — это «размер» или «количество» числа, независимо от знака. Другой способ отобразить это — абсолютное значение числа — это расстояние от 0. Следовательно, абсолютное значение целого числа всегда является целым числом. Например, абсолютное значение -12 равно 12. Абсолютное значение 3 равно 3. Из 0 равно 0.

Однако абсолютные значения нецелых чисел никогда не будут целыми. Например, абсолютное значение 1/11 равно 1/11 — дробь, а не целое число

Шаг 2. Изучите основные таблицы умножения

Процесс умножения и деления целых чисел, больших или малых, намного проще и быстрее после запоминания произведений каждой пары чисел от 1 до 10. Эта информация обычно преподается в школе в виде «таблицы умножения». Напоминаем, что ниже представлена таблица умножения 10х10. Числа в первой строке и в первом столбце находятся в диапазоне от 1 до 10. Чтобы найти произведение пары чисел, найдите пересечение между столбцом и строкой, о которой идет речь:

Таблица умножения от 1 до 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Метод 1 из 2: умножьте целые числа

Шаг 1. Подсчитайте минус в задаче умножения

Общая проблема между двумя или более положительными числами всегда дает положительный результат. Однако каждый отрицательный знак, добавленный к умножению, преобразует последний знак с положительного на отрицательный или наоборот. Чтобы начать задачу умножения целых чисел, посчитайте отрицательные знаки.

• Давайте возьмем пример -10 × 5 × -11 × -20. В этой задаче мы ясно видим три меньше. Мы будем использовать эти данные в следующем пункте.

Шаг 2. Определите знак своего ответа по количеству отрицательных знаков в задаче

Как отмечалось ранее, ответ на умножение только с положительными знаками будет положительным. Для каждого минуса в задаче поменяйте знак ответа на обратный. Другими словами, если у задачи только один отрицательный знак, ответ будет отрицательным; если их два, будет положительным и так далее. Хорошее практическое правило состоит в том, что нечетное количество отрицательных знаков дает отрицательный результат, а четное количество отрицательных знаков дает положительный результат.

• В нашем примере у нас есть три отрицательных знака. Три — это нечетно, поэтому мы знаем, что ответ будет отрицательный. Мы можем поставить минус в поле для ответа, например: -10 × 5 × -11 × -20 = — __

Шаг 3. Умножьте числа от 1 до 10, используя таблицу умножения

Произведение двух чисел, меньших или равных 10, включено в основные таблицы умножения (см. Выше). Для этих простых случаев просто напишите ответ. Помните, что в задачах только с умножением вы можете перемещать целые числа так, как вам нравится, умножая простые числа вместе.

В нашем примере 10 × 5 включено в таблицу умножения. Нам не нужно учитывать знак минус у 10, потому что мы уже нашли знак ответа. 10 × 5 = 50. Мы можем вставить этот результат в задачу следующим образом: (50) × -11 × -20 = — __

Если у вас возникли проблемы с визуализацией основных задач умножения, думайте о них как о сложении. Например, 5 × 10 — это как сказать «10 умножить на 5». Другими словами, 5 × 10 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

Шаг 4. При необходимости разбейте большие числа на более простые части

Если в вашем умножении используются числа больше 10, вам не нужно использовать длинное умножение. Во-первых, посмотрите, сможете ли вы разбить одно или несколько чисел на более управляемые части. Поскольку с помощью таблиц умножения вы можете решать простые задачи умножения почти сразу, свести сложную задачу к множеству простых задач обычно проще, чем решить одну сложную задачу.

• Перейдем ко второй части примера -11 × -20. Знаки можно опустить, потому что знак ответа мы уже получили. 11 × 20 кажется сложным, но если переписать проблему как 10 × 20 + 1 × 20, она внезапно становится намного более управляемой. 10 × 20 — это всего лишь 2 умножения на 10 × 10, или 200. 1 × 20 — это всего лишь 20. Сложив результаты, мы получаем 200 + 20 = 220. Мы можем вернуть это в задачу следующим образом: (50) × (220) = — __

Шаг 5. Для более сложных чисел используйте длинное умножение

Если ваша проблема включает два или более чисел больше 10, и вы не можете найти ответ, разбив задачу на более выполнимые части, вы все равно можете решить ее путем длинного умножения. В этом типе умножения вы выстраиваете свои ответы так же, как и при сложении, и умножаете каждую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего. Если в нижнем числе более одной цифры, вам необходимо учесть цифры в десятках, сотнях и т. Д., Добавив нули справа от вашего ответа. Наконец, чтобы получить окончательный ответ, сложите все частичные ответы.

Вернемся к нашему примеру. Теперь нам нужно умножить 50 на 220. Будет сложно разбить на более простые части, поэтому давайте воспользуемся длинным умножением. С задачами длинного умножения легче справиться, если наименьшее число находится внизу, поэтому мы запишем задачу с 220 вверху и 50 внизу.

• Сначала умножьте цифру нижних единиц на каждую цифру верхнего числа. Поскольку 50 ниже, 0 — это цифра в единицах измерения. 0 × 0 равно 0, 0 × 2 равно 0, а 0 × 2 равно нулю. Другими словами, 0 × 220 равно нулю. Запишите его под длинным умножением в единицах. Это наш первый частичный ответ.
• Затем мы умножим цифру в десятках младшего числа на каждую цифру большего числа. 5 — это цифра десятков в 50. Поскольку эта 5 выражается в десятках, а не в единицах, мы записываем 0 под нашим первым частичным ответом в единицах, прежде чем двигаться дальше. Затем мы размножаемся. 5 × 0 равно 0. 5 × 2 — 10, поэтому напишите 0 и прибавьте 1 к произведению 5 и следующей цифры. 5 × 2 равно 10. Обычно мы пишем 0 и сообщаем 1, но в этом случае мы также добавляем 1 из предыдущей задачи, получая 11. Напишите «1». Возвращая 1 из десятков 11, мы видим, что у нас больше нет цифр, поэтому мы просто пишем их слева от нашего частичного ответа. Записав все это, у нас осталось 11 тысяч.
• А теперь давайте просто сложим. 0 + 11000 равно 10000. Поскольку мы знаем, что ответ на нашу исходную задачу отрицательный, мы можем с уверенностью установить, что -10 × 5 × -11 × -20 = — 11000.

Метод 2 из 2: разделите целые числа

Шаг 1. Как и раньше, определите знак своего ответа по количеству знаков минус в задаче

Введение деления в математическую задачу не меняет правил относительно отрицательных знаков. Если имеется нечетное количество отрицательных знаков, ответ отрицательный, если он четный (или нулевой), ответ будет положительным.

• Давайте использовать пример, включающий как умножение, так и деление. В задаче -15 × 4 ÷ 2 × -9 ÷ -10 стоит три знака минус, поэтому ответ будет отрицательный. Как и раньше, мы можем поставить знак минус вместо нашего ответа, например: -15 × 4 ÷ 2 × -9 ÷ -10 = — __

Шаг 2. Сделайте простые деления, используя свои знания умножения

Деление можно рассматривать как обратное умножение. Когда вы делите одно число на другое, вы задаетесь вопросом, «сколько раз второе число входит во второе?» или, другими словами, «на что мне нужно умножить второе число, чтобы получить первое?». См. Базовые таблицы умножения 10×10 для справки — если вас попросят разделить один из ответов в таблице умножения на любое число от 1 до 10, вы знаете, что ответ — это просто другое число от 1 до 10, которое вам нужно умножить на n. чтобы получить это.

Возьмем наш пример. В -15 × 4 ÷ 2 × -9 ÷ -10 мы находим 4 ÷ 2. 4 — это ответ в таблице умножения — и 4 × 1, и 2 × 2 дают 4 в качестве ответа. Поскольку нас просят разделить 4 на 2, мы знаем, что в основном решаем задачу 2 × __ = 4. В пространстве, конечно, мы напишем 2, так что 4 ÷ 2 =

Шаг 2.. Перепишем нашу задачу как -15 × (2) × -9 ÷ -10.

Шаг 3. При необходимости используйте длинный пробор

Как и в случае с умножением, когда вы сталкиваетесь с делением, которое слишком сложно решить мысленно или с помощью таблиц умножения, у вас есть возможность решить его с помощью длительного подхода. В длинном делении запишите два числа в специальной L-образной скобке, затем разделите цифру на цифру, сдвигая частичные ответы вправо по мере того, как вы идете, чтобы учесть уменьшающееся значение цифр, которые вы делите — сотни, затем десятки, затем единицы и так далее.

В нашем примере мы используем длинное деление. Мы можем упростить -15 × (2) × -9 ÷ -10 до 270 ÷ -10. Мы, как обычно, будем игнорировать знаки, потому что знаем последний знак. Напишите 10 слева и поставьте под ним 270.

• Начнем с деления первой цифры числа под круглой скобкой на число сбоку. Первая цифра — 2, а число сбоку — 10. Поскольку 10 не входит в число 2, мы будем использовать вместо этого первые две цифры. 10 переходит в 27 — дважды. Напишите цифру «2» над цифрой 7 под скобкой. 2 — первая цифра в вашем ответе.
• Теперь умножьте число слева от скобки на вновь обнаруженную цифру. 2 × 10 равно 20. Запишите его под первыми двумя цифрами числа в скобках — в данном случае 2 и 7.
• Вычтите только что написанные числа. 27 минус 20 равно 7. Пишите под задачу.
• Перейти к следующей цифре числа под круглой скобкой. Следующая цифра в 270 — 0. Верните ее в сторону от 7, чтобы получить 70.

Разделите новое число. Затем разделите 10 на 70. 10 входит ровно 7 раз в 70, поэтому запишите его рядом с 2. Это вторая цифра ответа. Окончательный ответ