Бесконечно малые функции.
Замечательные эквивалентности в пределах
Продолжаем учебный цикл «пределы для чайников», который открылся статьями Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Если вы впервые на сайте, рекомендую также ознакомиться с уроком Методы решения пределов, который значительно улучшит вашу студенческую карму. В третьем мануале мы рассмотрели бесконечно большие функции, их сравнение, и сейчас настало время вооружиться лупой, чтобы после Страны великанов заглянуть в Страну лилипутов. Я провёл новогодние каникулы в культурной столице и вернулся в очень хорошем настроении, поэтому чтение обещает быть особо интересным.
В данной статье будут подробно разобраны бесконечно малые функции, с которыми вы на самом деле уже неоднократно сталкивались, и их сравнение. С невидимыми событиями вблизи нуля тесно связаны многие замечательные пределы, замечательные эквивалентности, и практическая часть урока, в основном, посвящена как раз вычислению пределов с использованием замечательных эквивалентностей.
Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых
Что тут сказать… Если существует предел , то функция называется бесконечно малой в точке .
Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.
Начертим знакомую линию :
Данная функция бесконечно малА в единственной точке:
Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой: . Или в более компактной записи:
Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля.
Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.
! Примечание: для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке.
Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу: 
Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»:
Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой:
Смысл двойных знаков:
Запись обозначает, что при , а при .
Запись обозначает, что при , а при .
Запись обозначает, что и при , и при .
Запись обозначает, что и при , и при .
Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов.
А теперь синус . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек:
Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой, синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность.
Отвечу ещё на пару простых вопросов:
Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности?
Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка.
Элементарный пример: . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций.
Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой?
(в любой точке области определения)
Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, но бесконечно малА на бесконечности.
Сравнение бесконечно малых функций
В статье Методы решения пределов были подробно рассмотрены гиганты, которые мерялись между собой порядком роста, и ситуацию контролировала самая большая особь. Общество карликов устроено точно так же, только соревнуются они в другой весовой категории – порядке малости. Среди лилипутов тоже существуют свои великаны, кто самый крупный – тот и девушку танцует. Проясним ситуацию. Рассмотрим следующую бесконечно малую функцию:
Да, совершенно понятно, что предел равен нулю, но обратим внимание на довольно любопытную вещь: в пределе находится сумма функций , и некоторые из них будут стремиться к нулю быстрее, а некоторые – медленнее. Об этом я уже немного рассказывал в Примере № 7 урока Методы решения пределов.
Построим последовательность , которая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена :
Очевидно, что с уменьшением значений «икс», функция убегает к нулю быстрее всех остальных (её значения обведены красным цветом). Говорят, что функция более высокого порядка малости, чем функции , а также более высокого порядка малости, чем . Но быстро бегать в Стране лилипутов – не есть доблесть, «тон задаёт» самый нерасторопный карлик , который, как и полагается боссу, идёт к нулю медленнее всех. Именно от него зависит, насколько быстро сумма приблизится к нулю:
Образно говоря, бесконечно малая функция «поглощает» всё остальное, что особенно хорошо видно по итоговому результату третьей строки. Иногда говорят, что более низкого порядка малости, чем и их сумма.
В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах:
Здесь неопределённость , и из вводного урока о пределах функций вспоминаем общий принцип раскрытия данной неопределённости: нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом что-нибудь сократить:
На первом шаге в числителе выносим за скобки , а в знаменателе «икс». На втором шаге сокращаем числитель и знаменатель на «икс», устраняя тем самым неопределённость. Указываем, что оставшиеся «иксы» стремятся к нулю, и получаем ответ.
В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя. Или короче: числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль.
Как и в случае с бесконечно большими функциями, ответ можно узнать заранее. Приём аналогичен, но отличается тем, что в числителе и в знаменателе нужно МЫСЛЕННО отбросить все слагаемые со СТАРШИМИ степенями, поскольку, как отмечалось выше, определяющее значение имеют медленные карлики:
Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые (быстрых карликов) числителя и знаменателя:
Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере:
В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель. При уменьшении значений «икс», самый медленный карлик числителя (и всего предела) становится настоящим монстром по отношению к своему более быстрому оппоненту . Например, если , то – уже в 40 раз больше…. не монстр ещё, конечно, при данном значении «икс», но такой уже субъект с большим пивным животом.
И совсем простой демонстрационный предел:
Узнаем ответ, МЫСЛЕННО отбросив все старшие слагаемые числителя и знаменателя:
В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости.
На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках:
(Пример № 4 урока Пределы. Примеры решений);
(Пример № 17 урока Методы решения пределов) и т.д.
Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности.
Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах?
Во-первых, предел должен вообще существовать в данной точке. Например, предела не существует. Если , то функция числителя не определена в точке «плюс бесконечность» (под корнем получается бесконечно большое отрицательное число). Подобные, казалось бы, вычурные примеры встречаются на практике: , как ни неожиданно, здесь тоже сравнение бесконечно малых функций и неопределённость «ноль на ноль». Действительно, если , то . …Решение? Избавляемся от четырёхэтажности дроби, получаем неопределённость и раскрываем её стандартным методом.
Возможно, начинающих изучать пределы сверлит вопрос: «Как так? Вот есть неопределённость 0:0, но на ноль же делить нельзя!». Совершенно верно, нельзя. Рассмотрим тот же предел . Функция не определена в точке «ноль». Но этого, вообще говоря, и не требуется, важно чтобы функция существовала В ЛЮБОЙ бесконечно близкой к нулю точке (или более строго – в любой бесконечно малой окрестности нуля).
ВАЖНЕЙШАЯ ОСОБЕННОСТЬ ПРЕДЕЛА, КАК ПОНЯТИЯ
состоит в том, что «икс» бесконечно близко приближается к некоторой точке , но «заходить туда» он «не обязан»! То есть для существования предела функции в точке не имеет значения, определена ли там сама функция или нет. Более подробно об этом можно прочитать в статье Пределы по Коши, ну а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:
Во-вторых, функции числителя и знаменателя должны быть бесконечно малЫ в данной точке. Так, например, предел совсем из другой команды, здесь функция числителя не стремится к нулю: .
Систематизируем информацию о сравнении бесконечно малых функций:
Пусть – бесконечно малые функции в точке (т.е. при ) и существует предел их отношений . Тогда:
1) Если , то функция более высокого порядка малости, чем .
Простейший пример: , то есть кубическая функция более высокого порядка малости, чем квадратичная.
2) Если , то функция более высокого порядка малости, чем .
Простейший пример: , то есть квадратичная функция более высокого порядка малости, чем линейная.
3) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок малости.
Простейший пример: , иными словами, карлик бежит к нулю строго в два раза медленнее, чем , и «дистанция» между ними сохраняется постоянной.
Наиболее интересен частный случай, когда . Такие функции называют бесконечно малыми эквивалентными функциями.
Перед тем как привести элементарный пример, поговорим о самом термине. Эквивалентность. Данное слово уже встречалось на уроке Методы решения пределов, в других статьях и встретится ещё неоднократно. Что такое эквивалентность? Существует математическое определение эквивалентности, логическое, физическое и т.д., но попытаемся понять саму сущность.
Эквивалентность – это равнозначность (или равноценность) в каком-нибудь отношении. Самое время размять мышцы и немного отдохнуть от высшей математики. Сейчас на улице хороший январский морозец, поэтому очень важно хорошо утеплиться. Пожалуйста, пройдите в прихожую и откройте шкаф с одеждой. Представьте, что там висят два одинаковых тулупа, которые отличаются только цветом. Один оранжевый, другой фиолетовый. С точки зрения своих согревающих качеств, данные тулупы являются эквивалентными. И в первом, и во втором тулупе вам будет одинаково тепло, то есть выбор равноценен, что оранжевый надеть, что фиолетовый – без выигрыша: «один к одному равно одному». Но вот с точки зрения безопасности на дороге тулупы уже не эквивалентны – оранжевый цвет лучше заметен водителям транспорта, …да и патруль не остановит, потому что с обладателем такой одежды и так всё понятно. В этом отношении можно считать, что тулупы «одного порядка малости», условно говоря, «оранжевый тулуп» в два раза «безопаснее» «фиолетового тулупа» («который хуже, но тоже заметен в темноте»). А если выйти на мороз в одном пиджаке и носках, то разница будет уже колоссальной, таким образом, пиджак и тулуп – «разного порядка малости».
…зашибись, нужно запостить в Википедии со ссылкой на данный урок =) =) =)
Напрашивающийся пример бесконечно малых эквивалентных функций вам хорошо знаком – это функции первого замечательного предела .
Дадим геометрическое истолкование 1-го замечательного предела. Выполним чертёж:
Ну вот, крепкая мужская дружба графиков виднА даже невооруженным взглядом. А бесконечно близко вблизи нуля их и мама родная не отличит. Таким образом, если , то функции бесконечно малЫ и эквивалентны. А если разница ничтожно мала? Тогда в пределе синус вверху можно заменить «иксом»: , или «икс» внизу синусом: . По сути, получилось геометрическое доказательство первого замечательного предела =)
Аналогично, кстати, можно проиллюстрировать любой замечательный предел, который равен единице.
! Внимание! Эквивалентность объектов не подразумевает совпадение объектов! Оранжевый и фиолетовый тулупы эквивалентно теплЫ, но это разные тулупы. Функции практически неотличИмы вблизи нуля, но это две разные функции.
Обозначение: эквивалентность обозначается значком «тильда».
Например: – «синус икса эквивалентен иксу», если .
Из вышесказанного следует очень важный вывод: если две бесконечно малые функции эквивалентны, то одну можно заменить другой. Данный приём широко применяется на практике, и прямо сейчас мы увидим, каким образом:
Замечательные эквивалентности в пределах
Для решения практических примеров потребуется таблица замечательных эквивалентностей. Не многочленом единым жив студент, поэтому поле дальнейшей деятельности будет очень широким. Сначала с помощью теории бесконечно малых эквивалентных функций перещёлкаем примеры первой части урока Замечательные пределы. Примеры решений, в которой были найдены следующие пределы:
1) Решим предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя на эквивалентную бесконечно малую функцию :
Почему можно провести такую замену? Потому что бесконечно близко вблизи нуля график функции практически совпадает с графиком функции .
В этом примере мы использовали табличную эквивалентность , где . Удобно, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только «икс», но и сложная функция, которая стремится к нулю.
2) Найдём предел . В знаменателе используем эту же эквивалентность , в данном случае :
Обратите внимание, что синус изначально находился под квадратом, поэтому на первом шаге тоже необходимо целиком поместить под квадрат.
Не забываем и про теорию: в первых двух примерах получены конечные числа, значит, числители и знаменатели одного порядка малости.
3) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где :
Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Лилипут (и эквивалентный ему лилипут ) достигает нуля быстрее, чем .
4) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где :
А здесь, наоборот, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель, карлик убегает к нулю быстрее карлика (и эквивалентного ему карлика ).
Следует ли использовать замечательные эквивалентности на практике? Следует, но далеко не всегда. Так, решение не очень сложных пределов (наподобие только что рассмотренных) нежелательно решать через замечательные эквивалентности. Вас могут упрекнуть в халтуре и заставить прорешать их стандартным образом с помощью тригонометрических формул и первого замечательного предела. Однако с помощью рассматриваемого инструмента очень выгодно осуществлять проверку решения или даже сразу узнавать правильный ответ. Характерен Пример № 14 урока Методы решения пределов:
На чистовике целесообразно оформить немаленькое полное решение с заменой переменной. Но готовый ответ лежит на поверхности – мысленно используем эквивалентность : .
И ещё раз геометрический смысл: почему в числителе функцию допустимо заменить функцией ? Бесконечно близко вблизи нуля их графики можно отличить разве что под мощным микроскопом.
Помимо проверки решения, замечательные эквивалентности используются ещё в двух случаях:
– когда пример достаточно сложен или вообще неразрешим обычным способом;
– когда замечательные эквивалентности требуется применить по условию.
Рассмотрим более содержательные задания:
На повестке дня неопределённость «ноль на ноль» и ситуация погранична: решение можно провести стандартно, но преобразований будет много. С моей точки зрения, здесь вполне уместно использовать замечательные эквивалентности:
Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При :
Единственный технический нюанс: изначально тангенс находился в квадрате, поэтому после замены аргумент тоже необходимо возвести в квадрат.
Данный предел разрешим через тригонометрические формулы и замечательные пределы, но решение опять же будет не сильно приятным. Это пример для самостоятельного решения, будьте особенно внимательными в ходе преобразования числителя. Если возникнет путаница со степенями, представьте его в виде произведения:
А вот это уже тяжёлый случай, когда провести решение стандартным образом весьма непросто. Используем замечательные эквивалентности:
Заменим бесконечно малые эквивалентными. При :
Получена бесконечность, значит, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель.
Резво практика пошла без верхней одежды =)
Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как разобраться с логарифмом 😉
Не редкость, когда замечательные эквивалентности используются в комбинации с другими методами решения пределов:
Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования
Заметьте, что здесь требуется применить замечательные эквивалентности по условию.
На первом шаге используем замечательные эквивалентности. При :
С синусом всё понятно: . Что делать с логарифмом? Представим логарифм в виде и применим эквивалентность . Как вы понимаете, в данном случае и
На втором шаге применим приём, рассмотренный ещё на уроке Пределы функций. Примеры решений. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда замечательные эквивалентности приходится использовать последовательно – два и даже бОльшее количество раз, когда бесконечно малые эквивалентные функции вложены друг в друга по принципу «матрёшек»:
Найти предел функции с помощью эквивалентных бесконечно малых функций
Перед решением необходимо выполнить предварительные преобразования.
В числителе вынесем за скобки «минус»: чтобы в дальнейшем воспользоваться эквивалентностью .
В знаменателе проведём искусственное преобразование , чтобы далее применить эквивалентность . Кстати, запомните это трюк с логарифмом, он используется и в других задачах математического анализа.
Начнём оформлять решение:
В числителе используем замечательную эквивалентность . В данном случае . Важнейшим моментом является тот факт, что при «икс», стремящемся к нулю, .
В знаменателе тоже бесконечно малая величина, именно поэтому можно применить эквивалентность , где при .
После замены проведена пара технических действий – вынесение «минуса» в знаменателе и сокращение минусов. Неопределённость 0:0 никуда не делась, и есть надобность воспользоваться бесконечно малыми эквивалентными функциями ещё раз. Если , то :
Задачка потолще для самостоятельного решения:
Найти предел функции с помощью эквивалентных бесконечно малых функций
Нетрудно догадаться, что «матрёшку» следует разбирать в привычном порядке, начиная от «внешней», и заканчивая самой маленькой «внутренней». Полное решение и ответ в конце урока.
Как я уже отмечал, «икс» не обязан стремиться к нулю, он может стремиться к произвольному числу, в том числе и к бесконечности – лишь бы функции были бесконечно малыми, и существовал предел их отношений . Но практика показывает, что почти во всех заданиях , именно поэтому я и не привёл других примеров.
Тем не менее, рассмотрим более редкий тип пределов, который встречается, в частности, при исследовании числовых рядов на сходимость:
Найти предел функции
В данном примере «икс» стремится к бесконечности, и . Иными словами, функция бесконечно малА в точке . Чтобы раскрыть неопределённость целесообразно использовать теорию эквивалентных бесконечно малых величин.
Поскольку , то применима замечательная эквивалентность :
Что и говорить, вкусный способ решения.
Найти предел функции
Это счастливый заключительный пример для самостоятельного решения. После эквивалентной замены неопределенность трансформируется в неопределённость , которая раскрывается по обычной схеме. Если возникли затруднения на завершающем этапе, пожалуйста, вернитесь к первой части урока Методы решения пределов.
Что тут сказать…
Решения и ответы:
Пример 5
Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При :
Пример 7
Представим логарифм в виде и заменим бесконечно малые эквивалентными. При :
Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель.
Пример 9
Используем замечательные эквивалентности. При :
Пример 11
1) Так как , то применима эквивалентность :
2) Так как , то применима эквивалентность :
3) Так как , то применима эквивалентность :
Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной:
Пример 13
Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной функцией. Если , то .
Разделим числитель и знаменатель на :
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys
Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов
Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .
Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .
Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .
| sin ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| t g ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| a r c sin ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| a r c t g ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| 1 — cos ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) 2 2 |
| ln ( 1 + α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| α α ( x ) — 1 | эквивалентна | α ( x ) ln α |
| 1 + α ( x ) p — 1 | эквивалентна | p α ( x ) |
| 1 + α ( x ) 1 p — 1 | эквивалентна | α ( x ) p |
Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .
Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .
Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .
При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Запишем предел вида
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )
Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .
Предел принимает вид
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1
Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.
Вычислить предел функции lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 .
Производится подстановка значений
lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 1 — cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = 0 0
Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 — cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 — cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .
После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:
lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2
Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что
lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 0 0 = lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2
Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что
lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x → 0 1 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = п у с т ь t = 2 x 2 , t → 0 п р и x → 0 = 1 2 lim t → 0 sin ( t ) t · lim t → 0 sin ( t ) t = 1 2 · 1 · 1 = 1 2
Эквивалентные функции
Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.
Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.
Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)
Для удобства следует использовать специальную таблицу.
Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
Свойства функций
Основные свойства бесконечно малых функций:
- \(\alpha\sim\alpha,\;(\lim_
- Если \(\alpha\sim\beta и \beta\sim\gamma, то \alpha\sim\gamma,\;(\lim_
- Если \(\alpha\sim\beta и \beta\sim\gamma и \beta\sim\gamma, то (\lim_
- Если \(\alpha\sim\alpha_1 и \beta\sim\beta и \lim_
Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:
- \(\frac<\alpha(x)-\beta(x)><\alpha(x)>=(1-\frac<\beta(x)><\alpha(x)>)\overset
- \(x = <-b \pm \sqrt
- \(\alpha(x)+\beta(x)\sim\alpha(x).\)
Применяемые определения
- Функции \(\alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малы при \(x\rightarrow\alpha.\)
- Если есть \(\lim_
- Если есть \(\lim_
- Если \(\not\ni\lim_
- Суммой двух бесконечно больших функций при \(x\rightarrow\alpha\) является неопределенность.
- Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при \(x\rightarrow\alpha.\)
Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.
Применяемые теоремы
Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):
Если \(\alpha_1(x),\;\alpha_2(x),\;\beta_1(x),\;\beta_2(x)\) являются бесконечно малыми при \(x\rightarrow\alpha и \alpha_1(x)\sim\beta_1(x),\;\alpha_2(x)\sim\beta_2(x)\) при \(x\rightarrow\alpha\) , то
- \(\alpha_1(x)\times\alpha_2(x)\sim\beta_1(x)\times\beta_2(x);\)
- \(\frac<\alpha_1(x)><\alpha_2(x)>\sim\frac<\beta_1(x)><\beta_2(x)>\) при \(x\rightarrow\alpha;\)
- \(\lim_
Теорема 2:
Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при \(x\rightarrow\alpha\) , нужно, чтобы при \(x\rightarrow\alpha\) выполнялось любое из равенств:
- \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\alpha(x));\)
- \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\beta(x)).\)
Теорема 3:
Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.
Верно и обратное утверждение.
Теорема 4:
Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Эквивалентность, убывание и рост функций
Определение предела оставляет открытым вопрос о том, насколько быстро или медленно происходит стремление функции к пределу. Вводимый далее ряд понятий в некоторой степени отвечает на данный вопрос.
Всюду в данном параграфе предполагается, что рассматриваемые функции определены в некоторой проколотой окрестности точки а .
Две бесконечно малые в точке а функции называются эквивалентными, если предел их отношения в данной точке равен 1.
Совершенно аналогичное определение может быть отнесено и к бесконечно большим функциям в точке.
Формально определение эквивалентных в точке а функций /(х) и g(x) записывается в виде предела
При этом не следует забывать о требовании к функциям быть бесконечно малыми или бесконечно большими. Например, функции /(х) = 1 + х и g(x) = 1 — х в точке а = 0 не называются эквивалентными, хотя и предел их отношения равен 1; это объясняется тем, что в точке 0 эти функции не являются ни бесконечно малыми, ни бесконечно большими.
Эквивалентность функций / (х) и g(x) в точке а обозначается записью /(х)
g(x) , х —> а . Исходя из вычисленных выше пределов (2.2), (2.5), (2.6), (2.9), можно сказать, что в точке х = 0 справедливы следующие соотношения:
Все представленные функции являются бесконечно малыми в точке 0. Приведем примеры бесконечно больших функций, эквивалентных в точке 0:
Эквивалентность функций связана с другим менее жестким отношением между функциями.
Две бесконечно малые в точке а функции имеют одинаковый порядок малости, если предел их отношения в точке а конечен и не равен 0.
Очевидно, что функции, эквивалентные в точке, имеют в этой точке одинаковый порядок малости или роста. Обратное может и не
иметь места. Например, функции Vl + х -1 и х в точке 0 не эквивалентны, но имеют одинаковый порядок малости. Аналогичное
замечание можно сделать и для пары функций 1 — cos х и х .
Простейшими функциями, бесконечно малыми в точке а , являются степенные функции вида (х-а)», где п — целое положительное число. В сравнении с этими функциями вводятся следующие понятия.
Бесконечно малая в точке а функция /(х) имеет порядок малости, равный п, если существует конечный и не равный 0 предел
Пример 1. С учетом рассмотренных ранее пределов можно утверждать, что в точке 0 справедливы следующие свойства:
имеют первый порядок малости;
имеют второй порядок малости (вывод относительно последней функции следует из (4.1));
имеют третий порядок малости (вывод относительно последней функции следует из (4.2)).
Аналогичные понятия вводятся и для бесконечно больших функций. Именно, две бесконечно большие в точке а функции имеют одинаковый порядок роста, если предел их отношения в точке а конечен и не равен 0. Далее, бесконечно большая в точке а функция /(х) имеет порядок роста, равный п, если существует конечный и не равный 0 предел
Например, функция х _3 имеет в точке 0 третий порядок роста.
Пример 2. Установим, что функция tgx имеет в точке ж 12 первый порядок роста. Действительно, данная функция является бесконечно большой в точке ж / 2 :
поскольку sin(;r/2) = 1, lim cosx = cos(;r /2) = 0. Следовательно,
вопрос о порядке роста функции правомочен. Вычислим надлежащий предел, используя замену у = х — ж / 2 , простейшие свойства синуса и косинуса и первый замечательный предел:
Полученный предел конечен и не равен 0; следовательно, данная функция действительно имеет в данной точке первый порядок роста.
Замечание 1. Понятия эквивалентности, порядка малости и порядка роста функции можно аналогично определить и при одностороннем стремлении аргумента к точке, и при стремлении аргумента к бесконечности.
Задание. Предлагаем читателям самостоятельно сформулировать данные понятия.
Замечание 2. При одностороннем стремлении аргумента к точке справа (х—»я + 0) функции (х-а) п определены при любых нецелых значениях показателя п; в этом случае порядок малости и порядок роста функции могут принимать произвольные не обязательно целые значения. Например, функция х 3/2 имеет при х-»0 + 0 порядок малости, равный 3/2.
Замечание 3. Следует понимать, что существуют бесконечно малые функции, которые в указанном смысле вообще не имеют определенного порядка малости. Например, рассмотрим функцию х In х , х > 0 . Она является бесконечно малой в точке 0 справа, как показано в параграфе 4.2. Если п > 0 — искомый порядок малости данной функции, то предел
должен быть конечным и отличным от 0. Рассмотрим возможные варианты. При п = 1 имеем:
Если п 1, то получаем произведение двух бесконечно больших функций:
Таким образом, при любых значениях п > 0 данный предел равен О либо — оо; соответственно функция х In х не обладает каким-либо порядком малости в принятом нами смысле.
ПримерЗ. Вычислим порядок малости функции (1 + л:)* -1 в точке х = 0. Вопрос правомерен, поскольку заданная функция является бесконечно малой в данной точке:
Выберем параметр п > 0, зафиксируем его значение и рассмотрим отношение
представляющее собой неопределенность вида 0 / 0. Поскольку параметр п, вообще говоря, может быть и дробным, то ограничимся только положительными значениями аргумента. Раскроем данную неопределенность по правилу Лопиталя. Для этого, используя тождество
вычислим производную числителя: 
Вычисляем требуемый предел:
последнее равенство получено с учетом (2.5). Следовательно, для существования конечного отличного от 0 предела (как того требует
определение порядка малости) предел функции j_2 в точке 0 справа
также должен быть конечен и не равен 0. Это возможно только при п = 2 (при п 2 равен +оо). Поскольку для целочисленного значения параметра п нет необходимости ограничиваться односторонним стремлением аргумента к точке справа, то можно рассматривать обычный предел. Таким образом,