Сколько существует различных пятизначных чисел

Задачи по комбинаторике. Часть 1

В этой статье использован материал из лекций Шарича Владимира Златковича и Максимова Дмитрия Васильевича на КПК foxford.

Очень рекомендую абитуриентам курсы foxford для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

1. Сколько четырехзначных чисел содержит ровно одну семерку?

Четырехзначное число имеет вид . Если четырехзначное число содержит ровно одну семерку, то она может стоять

1) на первом месте, и тогда на остальных трех местах могут стоять любые цифры от 0 до 9, кроме цифры 7, и по правилу произведения мы получаем четырехзначных чисел, у которых семерка стоит на первом месте.

2) на любом месте, кроме первого, и тогда по правилу произведения мы получаем . У нас три возможности расположения цифры 7, на первом месте может стоять 8 цифр (все цифры, кроме нуля и 7), на тех местах, где не стоит цифра 7 — 9 цифр.

Сложим полученные варианты, и получим четырехзначных чисел, содержащих ровно одну семерку.

2. Сколько пятизначных чисел содержит ровно две семерки?

Так же как в предыдущей задаче у нас две возможности:

1) Одна из семерок стоит на первом месте, а вторая на любом из оставшихся четырех мест. На трех местах, не занятых цифрой 7 может стоять любая из 9 цифр (все, кроме цифры 7). В этом случае мы получаем чисел.

2) Ни одна из семерок не стоит на первом месте. В этом случае мы имеем возможностей расставить 2 семерки на оставшихся 4-х местах. У нас осталось 3 места, не занятых цифрой 7, одно из которых первое, и таким образом мы получаем чисел.

Сложим полученные варианты, и получим пятизначных чисел, содержащих ровно две семерки.

3. Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания?

Так как первой цифрой не может быть 0, рассмотрим последовательность цифр 1-9, расположенных в порядке возрастания.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Если мы выберем из этой последовательности 5 произвольных цифр, например так:

1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8 , 9

то получим пятизначное число, цифры которого различны и расположены в порядке возрастания.

Осталось посчитать, сколькими способами мы можем выбрать из 9 цифр 5:

Итак существует 126 пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания.

Треугольник Паскаля и число сочетаний.

4. Задача о хромом короле. Пусть есть доска размером . Король находится в левом верхнем углу доски и может перемещаться по доске, двигаясь только вправо и вниз. Сколькими способами король может добраться до левого нижнего угла доски?

Посчитаем, для каждой клетки, сколькими способами король может до нее добраться.

Так как король может двигаться только вправо и вниз, до любой клетки первого столбца и первой строки он может добраться единственным способом:

Рассмотрим произвольную клетку доски. Если в клетку, стоящую над ней можно добраться способами, а в клетку, стоящую слева от нее способами, то в саму клетку можно добраться способами (это следует из того, что король может двигаться только вправо и вниз, то есть не может дважды зайти на одну клетку):

Заполним начальные клетки, пользуясь этим правилом:

Мы видим, что при заполнении клеток у нас получается треугольник Паскаля, только повернутый на бок.

Число в каждой клетке показывает, сколькими способами король может попасть в эту клетку из левой верхней.

Например, чтобы попасть в клетку (4;3) — четвертая строка, третий столбец, король должен сделать 4-1=3 шага вправо, и 3-1=2 шага вниз. То есть всего 3+2=5 шагов. Нам нужно найти число возможных последовательностей этих шагов:

То есть найти, скольким способами мы можем расположить 2 вертикальные (или 3 горизонтальные) стрелки на 5-ти местах. Число способов равно:

— то есть ровно то число, которое стоит в этой клетке.

Для того, чтобы попасть в последнюю клетку, король должен сделать всего шага, из которых по вертикали. Таким образом, он может попасть в последнюю клетку

Можно получить рекуррентное соотношение для числа сочетаний:

Смысл этого соотношения следующий. Путь у нас есть множество, состоящее из n элементов. И нам нужно выбрать из этого множества l элементов. Все способы, которыми мы можем это сделать делятся на две группы, которые не пересекаются. Мы можем:

а) зафиксировать один элемент, и из оставшихся n-1-го элемента выбрать l-1 элемент. Это можно сделать способами.

б) выбрать из оставшихся n-1-го элемента все l элементов. Это можно сделать способами.

Также можно получить соотношение:

Действительно, левая часть этого равенства показывает число способов выбрать какое-то подмножество из множества, содержащего n элементов. (Подмножество, содержащее 0 элементов, 1 элемент и так далее.) Если мы пронумеруем n элементов, то получим цепочку из n нулей и единиц, в которой 0 означает, что данные элемент не выбран, а 1 — что выбран. Всего таких комбинаций, состоящих из нулей и единиц .

Кроме того, число подмножеств с четным числом элементов равно числу подмножеств с нечетным числом элементов:

Докажем это соотношение. Для этого докажем, что между подмножествами с четным числом элементов и подмножествами с нечетным числом элементов существует взаимно однозначное соответствие.

Зафиксируем один элемент множества:

Теперь возьмем произвольное подмножество, и если оно не содержит этот элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, плюс этот элемент. А если выбранное подмножество уже содержит это элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, минус этот элемент. Очевидно, что из этих пар подмножеств одно содержит четное число элементов, а другое — нечетное.

5. Рассмотрим выражение

1. Сколько слагаемых имеет этот многочлен?

а) до приведения подобных членов

б) после приведения подобных членов.

2. Найти коэффициент при произведении

При возведении суммы слагаемых в степень , мы должны эту сумму умножить на себя раз. Мы получаем сумму одночленов, степень каждого из которых равна m. Число всевозможных произведений, состоящих из переменных из множества с учетом порядка и возможностью повторения равно числу размещений с повторениями из k по m:

Когда мы приводим подобные члены, мы считаем одинаковыми произведения, содержащие равное число множителей каждого вида. В этом случае, чтобы найти число слагаемых многочлена после приведения подобных членов, мы должны найти число сочетаний с повторениями из k по m:

Найдем коэффициент при произведении .

Выражение представляет собой произведение m элементов из множества , причем элемент взят раз, элемент взят раз, и так далее, и, наконец, элемент взят раз. Коэффициент при произведении равен числу возможных произведений:

Рассмотрим частный случай: — Бином Ньютона. И получим формулу для биномиальных коэффициентов.

Произвольный член многочлена, полученного возведением двучлена в степень имеет вид , где А — биномиальный коэффициент, . Как мы уже получили,

Тогда если мы положим х=1 и y=1, то получим, что

6. Задача про кузнечика.

Есть n клеточек, расположенных последовательно. Кузнечик должен попасть из крайней левой клеточки в крайнюю правую, прыгая вправо на произвольное число клеток.

а) Сколькими способами он может это сделать?

Изобразим условие задачи:

Кузнечик может попасть в крайнюю правую клетку, побывав, или не побывав в любой внутренней клетке. Присвоим клетке значение 1, если кузнечик в ней побывал, и 0, если нет, например, так:

Тогда у нас есть n-2 клеточек, каждая из которых может принимать значение 0 или 1. Задача сводится к нахождению числа последовательностей, состоящих из n-2 нулей и единиц. Таких последовательностей .

б) сколькими способами кузнечик может добраться в n-ю клетку, сделав k шагов?

Чтобы попасть в n-ю клетку, сделав k шагов, кузнечик должен попасть ровно в k—1 клетку между первой и последней. Так как последний шаг он делает всегда в последнюю клетку. То есть стоит вопрос, сколькими способами можно выбрать k—1 клетку из n-2 клеток?

Ответ: .

в) сколькими способами кузнечик может добраться в n-ю клетку, двигаясь на одну или на две клетки вправо?

Распишем, сколькими способами можно попасть в каждую клетку.

В первую и вторую клетки можно попасть единственным способом: в первую — никуда из нее не уходя, и во вторую из первой:

В третью можно попасть из первой или второй, то есть двумя способами:

В четвертую — из второй или третьей, то есть 1+2=3 способами:

В пятую — из третьей или четвертой, то есть 2+3=5 способами: Можно заметить закономерность: чтобы найти число способов, которыми кузнечик может попасть в клетку с номером k нужно сложить число способов, которыми кузнечик может попасть в две предыдущие клетки:

Мы получили интересную последовательность чисел — числа Фибоначчи — это линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее — сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

myubi.tv

В математике термин «различное число» используется для обозначения числа в наборе, которое не равно другому числу. Например, набор чисел <1, 2>содержит два различных числа 1 и 2, что можно доказать, оценив различные характеристики каждого числа.

Как найти разные цифры?

Это открытый и закрытый случай повторяющейся цифры, так как «0» встречается в нем дважды. Так, от 5 до 200; сколько чисел с повторяющейся цифрой вы получаете: (0 + 9 + 10 + 18 + 1) = 38 чисел с повторяющейся цифрой. Следовательно, от 5 до 200 имеется (196 – 38) = 158 чисел, имеющих в своем составе разные цифры.

Что значит различное в математике?

Разные. Не идентичны. эта страница обновлена ​​19 июля 17.

Сколько существует различных пятизначных чисел?

Итак, количество пятизначных чисел, у которых первой цифрой является ноль, равно 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. Если мы вычтем эти 10 000 способов из общего числа 1 00 000 способов, у нас останется 90 000. Следовательно, есть 90 000 уникальных 5-значных номеров возможный.

Какое самое маленькое четырехзначное число с различными цифрами?

Наименьшее четырехзначное число, состоящее из четырех различных цифр, равно 1023.

Что такое уникальное число в математике?

Каждое число имеет свою специализацию или обладает некоторыми уникальными свойствами.. Свойства некоторых уникальных номеров приведены ниже. 4 — единственное составное число n, на которое не делится (n-1)!

Являются ли десятичные дроби различными числами?

десятичная система счисления, также называемая индийско-арабской системой счисления или арабской системой счисления, в математике позиционная система счисления, использующая 10 в качестве основы и требующая 10 разных цифр, цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. См. цифры и системы счисления. …

Сколько существует четырехзначных чисел с различными цифрами?

Следовательно, согласно основному принципу подсчета, количество четырехзначных чисел равно 9,9. 8,7= 4536. Следовательно, существует 4536 четырехзначных чисел с различными цифрами.

Какое самое маленькое трехзначное число с различными цифрами?

Посмотрите также, сколько линз у простого микроскопа.

Сколько существует трехзначных чисел с различными цифрами, каждая из которых нечетная?

Таким образом, есть 60, 3-значные числа с различными цифрами, каждая из которых нечетная.

Является ли 0 отдельным числом?

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Группа цифр рассматривается как число. Мы можем сформировать различные числа, используя эти 10 цифр.

Сколько существует нечетных пятизначных чисел с различными цифрами?

Сколько пятизначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 1 2 5 5 4?

Сколько пятизначных четных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 5, 5, 4? Сколько пятизначных четных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 5, 5, 4? Объяснение: 5 четные числа можно составить из 1, 2, 5, 5, 4, используя 2 или 4 вместо единицы.

Какое самое большое четырехзначное число с уникальными цифрами?

(1000 также является наименьшим четырехзначным числом). Наибольшее четырехзначное число, использующее только одну цифру, равно 9,999 (9999 также является самым большим четырехзначным числом). Наибольшее четырехзначное число, состоящее из двух разных цифр, равно 9998.

Какое наибольшее четырехзначное число имеет различные цифры?

Условие четырехзначного числа, состоящего из четырех разных цифр, состоит в том, что 5 всегда стоит на месте десятков. Наибольшее четырехзначное число будет 9857 а самое маленькое четырехзначное число будет 1052.

Какое самое большое четырехзначное число?

Почему 7 уникальное число?

Семь число полноты и совершенства (как физической, так и духовной). Оно во многом связано с тем, что оно напрямую связано с сотворением Богом всего сущего. … Слово «сотворил» используется 7 раз, описывая творческую работу Бога (Бытие 1:1, 21, 27 три раза; 2:3; 2:4).

Что такое уникальный номер, приведите пример?

Например, трехзначное число 345, если вычесть из его реверса 543, дает разницу 198. Следовательно, для любого числа, состоящего из 3 цифр, уникальное число U3 равно 198.

Что называют уникальным номером?

1 называется уникальным числом, потому что оно не является ни простым, ни составным числом. У него есть только один фактор, т. е. само число; а чтобы быть составным числом, число также должно иметь два делителя, т. е. 1 и число; и простое число также должно иметь более двух делителей.

Является иррациональным или рациональным?

Каковы важные различия между рациональными и иррациональными числами?

Рациональный Числа	Иррациональные числа
Рациональное число включает только те десятичные дроби, которые конечны и повторяются по своей природе.	К иррациональным числам относятся все те числа, которые не прекращаются или не повторяются по своей природе.

Смотрите также, что будет, если вымрут киты.

Это иррациональное число?

Знаменитые иррациональные числа.

√3	1.7320508075688772935274463415059 (и т. д.)
√99	9,9498743710661995473447982100121 (и т. д.)

Повторяется ли иррациональное число?

Любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел, называется иррациональным. Их десятичное представление не заканчивается и не повторяется бесконечно, а продолжается вечно без регулярного повторения. Примерами таких иррациональных чисел являются квадратный корень из 2 и π.

Сколько целых чисел имеют различные цифры?

Однозначные целые: 1, …, 9 — всего 9 целых чисел. Двузначные целые числа: 10, …, 99 – всего 90 целых чисел, но в 9 из них (11, …, 99) две цифры совпадают. Значит 90 — 9 = 81 двузначное целое число с разными цифрами.

Что такое различные натуральные числа?

Сколько существует четырехзначных чисел с различными цифрами, сумма цифр которых четна?

Вместе это дает 2296 номеров с 4 различными четными цифрами.

Какое самое маленькое двузначное число с уникальными цифрами?

Самое маленькое двузначное число, состоящее только из одной цифры, 11. Наибольшее двузначное число, использующее только одну цифру, равно 99. (99 также является наибольшим двузначным числом). Наибольшее двузначное число, состоящее из всех цифр, равно 98.

Какое самое большое шестизначное число с уникальными цифрами?

Смотрите также, какие формы рельефа есть во Флориде.

Какое самое большое трехзначное число с уникальными цифрами?

Трехзначные числа начинаются с 100, 101, 102,…………. до 999. Нам нужно найти наибольшее число с уникальными цифрами, поэтому мы можем просто взять 9 в качестве первой цифры, поскольку это самая большая цифра, и чтобы сохранить ее уникальность, мы можем просто взять 8 и 7 в качестве 2-й и 3-й цифры соответственно. Итак, здесь число будет 987.

Сколько существует нечетных трехзначных чисел?

И для первых цифр мы можем разместить цифры в диапазоне от 1 до 9, но мы не можем разместить цифры, которые используются в двух других цифрах, и мы можем разместить только 7 цифр. Однако результат неверен, потому что есть 320 нечетных трехзначных чисел с разными цифрами.

Сколько существует трехзначных чисел, в которых все цифры четные?

В числовой строке 3-значные числа: 100 — 999. Итак, если я начну с 1 — 999, то всего у меня будет 999 чисел. из них я уберу однозначные числа: 9 и двузначные числа: 90, то есть: 999-99 = 900 3-значные числа. Теперь, чтобы посчитать четные числа: мы начинаем со 100 и пропускаем счет на 2.

Сколько трехзначных чисел можно составить из числа 12345?

Поскольку повторение разрешено, количество цифр, доступных для Y и Z, также будет 5 (каждая). Таким образом, общее количество трехзначных чисел, которые можно составить = 5×5×5 = 125.

Что означает отдельное значение?

1 легко ощущается или понимается; чистый; точный. 2 при постположительном следует за: от не того же (как); отдельно (от); отличающийся (от) 3 не похожий; разные. 4 острых; чистый. 5 узнаваемых; определенный.

Что такое различные простые числа?

Отличительными первичными факторами являются простые делители числа, которые отличаются друг от друга.

Что отличает слово?

отдельный, отдельный, дискретный означает, что все и каждый не один и тот же. отчетливый указывает что что-то различается умом или глазом как отдельное или отличное от других. две отдельные версии часто подчеркивают отсутствие связи или различия в идентичности между двумя вещами.

Упр.1056 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Подскажите, пожалуйста, Сколько существует пятизначных чисел? Во скольких из них все цифры четны?

Пятизначные числа начинаются с числа 10000 и заканчиваются числом 99999. Таким образом пятизначных чисел:
N = 99999 — 9999 = 90000
Сколько у нас четных цифр от 0 до 9? 4 числа.
Сколько различных пятизначных чисел, в которых все числа ченые?
На каждое из 5 мест в пятизначном числе можно поставить 4 различных числа. Получаем:
4*4*4*4*4 = 4^5 = 1024 числа.
Кстати и на первый вопрос ответ можно дать средствами комбинаторики. Там на первое место можно поставить 9 цифр (ноль нельзя) , а на посследующие 4 по 10 цифр. Итого:
9*10*10*10*10 = 90000
Успехов!