Как построить касательную к двум окружностям

3.2.3 Построение касательных к двум окружностям

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO₁ описывают окружность радиусомR – r(рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO₂O₁ – точкуO₃и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO₃O₂ илиO₃O_1.Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ. ТочкиO₁ иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO₂параллельно прямойO₁D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомrи получают вторую точку касанияC. ПрямаяCDявляется искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF).

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO₁, описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO₂O₁ пополам, получают точкуO₃. Из точкиO₃как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO₃O₂ = O₃О₁ и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O₁ (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O₁D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности

3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности

Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом R_c (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуR_c. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаR_cи в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиОопускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.

Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом R_c= OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.

Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB. ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО– центр сопрягающей дуги радиусом.

Как построить касательную к двум окружностям

С помощью циркуля и линейки постройте общие касательные к двум данным окружностям.

Подсказка

Сведите задачу к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету (или примените гомотетию).

Решение

Пусть O 1 и O 2 — центры окружностей радиусов R и r ( R > r ). Предположим, что некоторая прямая касается окружностей в точках A и B соответственно, причём эти точки лежат по одну сторону от прямой O 1 O 2 . Опустим перпендикуляр O 2 H из центра меньшей окружности на радиус O 1 A большей окружности, проведённый в точку касания. Тогда O 1 ABO 2 — прямоугольник. В прямоугольном треугольнике O 1 HO 2 известны катет O 1 H = R — r и гипотенуза O 1 O 2 .

Отсюда вытекает следующее построение. Прямоугольный треугольник O 1 HO 2 строим по катету R — r и гипотенузе O 1 O 2 . Продолжение катета O 1 H за точку H есть искомая точка касания A . Через точку A проводим прямую, перпендикулярную O 1 A , и опускаем на неё перпендикуляр O 2 B из точки O 2 .

Поскольку O 1 ABO 2 — прямоугольник, то

Значит, точка B лежит на окружности с центром O 2 , а т.к. O 2 B AB , то прямая AB — касательная и к этой окружности.

Поскольку возможны ровно два положения точки H относительно прямой O 1 O 2 , то задача имеет два решения.

Построение в случае, когда R = r , очевидно.

Построение общих внутренних касательных аналогично изложенному. Оно отличается лишь тем, что прямоугольный треугольник O 1 HO 2 строится по гипотенузе O 1 O 2 и катету R + r (а не R — r ).

Ясно, что построение общих внутренние касательных возможно лишь в случае, когда расстояние между центрами окружностей не меньше суммы радиусов. Если O 1 O 2 = r + R , то общая внутренняя касательна единственна (в этом случае окружности касаются внешним образом).

Пусть R > r . Найдем центр гомотетии данных окружностей. Для этого проведём произвольный радиус O 1 M 1 первой окружности и параллельный ему радиус O 2 M 2 второй окружности. При этом точки M 1 и M 2 могут лежать либо по одну сторону от прямой O 1 O 2 , либо — по разные.

В каждом из этих случаев искомый центр Q гомотетии есть точка пересечения прямых M 1 M 2 и O 1 O 2 (в первом случае коэффициент гомотетии равен , во втором — ( — ).

Поскольку при гомотетии касательная переходит в касательную (прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью), то достаточно провести из точки Q касательную к одной из окружностей. Ясно, что она будет касательной и ко второй.