Сколько будет 100 умножить на бесконечность

Поделаем всякие запретные вещи с числами ⁠ ⁠

Сразу скажу, что все, что я опишу — не совпадает с классической математикой, а является лишь рассуждением и предположением.
Деление на ноль дает бесконечность. Умножение нуля на +бесконечность дает набор чисел от 0 до +бесконечности. Возведение 0 в 0-вую степень дает набор чисел от -бесконечности до +бесконечности.

Делить на 0 запрещено. Так учили в школе. Но если поразмышлять, то деление на ноль даст ответ бесконечность. Под бесконечностью здесь понимается не все числа вместе взятые, а какое-то абстрактное число, которое больше любого другого. То есть, число без границ. Так, например деление 3 на 0.1 даст 30; 3 на 0.01 — 300; 3 на 0.0000001 даст 30000000. Как видно, чем ближе число к нулю, тем больше нулей будет после числа в ответе. Тем большим будет число. В итоге, если поделить на сам 0, будет число с бесконечным числом нулей после него. Поскольку нулей бесконечно, то это число равно бесконечности.

2. Умножение 0 на бесконечность.

Еще один запрещенный метод. Классически он дает неопределенность. Но если порассуждать логически, то ответом будут все числа от 0 до +бесконечности.
Кстати, что любопытно, это правило применимо в повседневной жизни постоянно. Без него было бы невозможным существование пространства и геометрических фигур, включая гаджет, с которого вы читаете этот текст. Наше пространство трехмерно, но трехмерные фигуры, например дома, в которых мы живем состоят из бесконечного множества двухмерных срезов с нулевой толщиной и ненулевой длинной и высотой. И из таких двухмерных срезов с нулевой толщиной образуются различные фигуры с различной толщиной. Вот и получается бесконечность (бесконечно срезов) * 0 (нулевая толщина) = предметы с разной толщиной. В свою очередь двухмерные срезы с нулевой толщиной состоят из бесконечного множества одномерных линий с нулевой высотой, а те в свою очередь состоят из бесконечного множества нольмерных точек, которые вообще не имеют размера. Получается, что все фигуры в мире, включая людей, Землю и Вселенную являются результатом умножения 0 на бесконечность.
Отрицательные числа не подходят. Подходят только положительные. Потому, что если 3 / 0 = +бесконечность, то +бесконечность * 0 = 3. Но в то же время, уравнение будет справедливо если вместо 3 поставить 5 или 3.14, или 8642963.7875, или любое другое положительное число. А вот если взять отрицательное число, то -3 / 0=-бесконечность. А потому +бесконечность*0 не равно -3, или любому другому отрицательному числу. Кстати, возможность нескольких правильных ответов вместо 1 — не такая уж и редкость. Например, в квадратных уравнениях часто получается 2 правильных ответа. Во многих других уравнения, бывает набор правильных ответов, при извлечении квадратного корня подходят 2 ответа, а при умножении 0 на +бесконечность подходит набор положительных чисел от 0 до +бесконечность.

3. Возведение 0 в степень 0.

Данный прием и вовсе даст набор ответов от -бесконечность до +бесконечность. Обычно при возведении числа в степень 0 будет 1, потому, что, например 4^0 * 4^2 = 4^(0+2) = 4^2, отсюда следует, что 4^0 = 1. Но если возводить 0 в любую степень, то обычно получается 0. Если же применим упомянутый метод, то получится, что 0^0 * 0^2 = 0^(0+2) = 0^2 = 0. Чему тогда равно 0^0? Да чему угодно, потому, что любое число, умноженное на 0, как положительное, так и отрицательное дает 0. В итоге, 0^0 * 0^2 = 3 * 0^2 = -3 * 0^2 = 1.028 * 0^2 = 0. Кстати, поскольку 0 * бесконечность = 0. +бесконечность, которая включает 0, как частный случай, то и +бесконечность тоже подходит. Аналогично будет и для -бесконечность. Поэтому 0^0 = набор чисел от -бесконечность до +бесконечность.

Пока что напишу об этих трех вещах, которые заметил. Может быть позже напишу еще о некоторых.

bigstonedragon

Ну, вот скажите, как так получается, что как только у меня возникает ощущение, что пора высказаться на какую-нибудь тему, так сразу и во френд-ленте возникает несколько постов, в которых затрагиваются те же самые вопросы?
Сейчас вот после публикации рассуждений насчет «свободы и необходимости» (http://bigstonedragon.livejournal.com/399734.html) возникла потребность высказаться по неким математическим вопросам; и тут же вижу во френд-ленте: http://vorona-n.livejournal.com/66460.html и http://kosilova.livejournal.com/595991.html?thread=11645207#t11645207 !
А высказаться мне захотелось по вопросам о бесконечности.
Дело в том, что большинство труднопостижимых загадок и «парадоксов» и в науке, и в философии связаны ИМХО именно с бесконечностью. Пока мы остаемся в рамках конечных, замкнутых систем – все просто, наглядно, понятно, но зато и пессимистично: «тепловая смерть», предсказуемость и предопределенность, механистичность и алгебраичность. Пока мы остаемся в рамках замкнутых систем, нет места «звездному небу» или «уроку гармонии», «свободе воли» и «обширному полю сознания».
Возможно, именно в способности аппелировать к бесконечности и заключается основное достижение человеческого разума?
А бесконечность полна парадоксов. Именно они, пожалуй, больше всего запомнились мне из всего курса математики в школе и универе.

sin_gular в обсуждении поста http://kosilova.livejournal.com/595991.html пишет: …И вот что я подумал — все таки вся человеческая математика основана на понятии натурального числа. На дискретности и анизотропности. Видимо так интуитивно работает мозг. Базовым математическим объектом для нас оказалось натуральное число.
Но ведь даже натуральный ряд (1, 2, 3, …) – это уже простейшая из возможных бесконечностей.
И она уже дает нам множество парадоксов.

1. Бесконечность + бесконечность = та же самая бесконечность.
Ну, вот первый из парадоксов. Возьмем не натуральные числа, а целые: то есть добавим к натуральному ряду ещё «0» и отрицательные числа. Казалось бы, общее количество чисел должно было увеличиться вдвое; но на самом деле, их осталось столько же! Потому как целые числа можно перенумеровать так же, как натуральные. Вот:
1 – 0
2 – 1
3 – -1
4 – 2
5 – -2
6 – 3
и т.д. То есть взяв любое целое число, мы однозначно сможем сопоставить ему натуральное, и наоборот. Целых чисел – столько же, сколько и натуральных!
И сколько ни прибавляй к бесконечности бесконечность, все равно в результате будет ТА ЖЕ САМАЯ бесконечность! Ну, не хочет она увеличиваться, и всё тут!

2. «Бесконечность» умножить на «бесконечность» = та же самая «бесконечность»!
Но этого мало. Возьмем теперь не целые числа, а рациональные – то есть всевозможные дроби, полученные путем деления одного целого числа на другое.
Казалось бы, их должно быть в бесконечное число раз больше, чем количество целых чисел. Ну, возьмем, к примеру, такое сопоставление:
1 – 1;
2 – ½;
3 – 1/3;
4 – ¼;
5 – 1/5;
и т.д.
Казалось бы, мы взяли лишь малую толику рациональных чисел – только между 0 и 1 и только такие, где в числителе стоит «1»; а их уже оказалось столько же, сколько всех целых чисел, вместе взятых! Значит, в общей сложности, рациональных чисел должно быть в бесконечное число раз больше, чем целых!
А вот получается, что на самом деле это вовсе не так. Потому что рациональные числа на самом деле тоже можно перенумеровать, точно так же, как и целые!
Вот, смотрите. Давайте выстроим такую вот «числовую пирамиду»:
1 – 0;
2 – 1/1 (=1);
3 – ½ ; 2/1 (=2);
4 – 1/3 ; 3/1 (=3);
5 – ¼ ; 2/3 ; 3/2 ; 4/1 (=4);
и т.д.
Т.е. на каждом «этаже» пирамиды располагаются те дроби, в которых сумма числителя и знаменателя равна номеру «этажа» пирамиды!
Не буду приводить доказательств, но таким образом можно перенумеровать все рациональные числа – то есть даже перемножив «бесконечность» на саму себя, да ещё не один раз, мы в итоге получили ТУ ЖЕ САМУЮ бесконечность!

3. Дуализм «дискретного» и «непрерывного»
Как говорится, «чем дальше в лес, тем больше дров».
Парадоксы я стараюсь расположить в порядке нарастания степени их парадоксальности. И вот сейчас мы как раз подходим к тому из парадоксов, который меня в своё время поразил, пожалуй, больше всего.
Интуитивно понятно, что есть две принципиально разные вещи – процессы «дискретные» и «непрерывные». Грубо говоря, набор точек и линия.
Формально, если взять для наглядности геометрическое представление, то дискретное множество – это такое, где вокруг любого элемента можно, грубо говоря, провести окружность, внутри которой ни одного другого элемента этого множества не найдётся. То есть, есть некое минимально возможное «расстояние» между элементами множества, ближе которого они друг к другу не приближаются. Дискретный набор точек в микроскоп всегда при некотором увеличении будет выглядеть именно как набор точек, а не непрерывная линия.
Наоборот, в непрерывном (точнее, насколько я помню, «всюду плотном») множестве, сколь малое расстояние не возьми, всегда найдётся элемент, который ближе к выбранной точке, чем данное расстояние. Грубо говоря, какое увеличение в микроскопе не возьми, такое множество всё равно будет оставаться «линией», и не превратится в «набор точек».
Для чисел самым наглядным геометрическим представлением является ось координат. На этой оси целые числа будут являться отдельными точками, а рациональные – как раз таки всей осью, непрерывной (точнее, «всюду плотной») линией, которую, со сколь угодно большим увеличением ни рассматривай, она всё равно линией и останется, и никогда не «рассыплется» в набор отдельных точек.
И вот, получается, что на самом деле, количество «точек», составляющих дискретное множество и «непрерывную» линию – одинаково.
Помню, этот «дуализм» дискретного и непрерывного в своё время поразил меня больше всего из всего того странного и не укладывающегося в рамки «здравого смысла». Что связано с «бесконечностью».

4. Бесконечность больше бесконечности.
Но даже и на этом парадоксы всё-таки не заканчиваются.
Казалось бы, всё, дальше ехать некуда, больше найденной нами «бесконечности» ничего уже быть не может.
А вот оказывается, вовсе и не так!
Потому как «рациональные» числа – это вовсе даже не все числа, какие есть в природе.
И, как оказывается, даже не большая их часть.
Потому как кроме «рациональных чисел», каждое из которых можно представить в виде дроби, в числителе и знаменателе которой – целые числа, существуют ещё числа «иррациональные», в виде простых дробей не представимые. Любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби; иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. Наиболее известным представителем таких чисел является число «пи» — отношение длины окружности к её диаметру.
Так вот, я не помню уже доказательств (прошу поверить мне на слово), но иррациональные числа перенумеровать принципиально невозможно – их количество оказывается БОЛЬШЕ, чем количество целых чисел! Математически первая из рассмотренных мною бесконечностей (набор целых чисел) принято именовать счетной, вторую (иррациональные числа) — несчетной.
Насколько я помню, для сравнения «бесконечностей» между собой используется понятие «мощности»; и насколько я помню, этих самых «мощностей» опять таки может быть бесконечное количество 🙂

5. Линия, которая бесконечно длиннее самой себя.
Ну, и самое интересное, что геометрически и рациональные, и иррациональные числа можно представить как одну и ту же линию – ось координат; и то, и другое множество является «всюду плотным», и на графике будет выглядеть как одна и та же линия! Сколько ни увеличивай разрешающую способность «микроскопа», различий между линией, состоящей из рациональных чисел, и линией, состоящей из иррациональных чисел, увидеть не удастся: при любом «увеличении» это будет одна и та же непрерывная («всюду плотная») линия!
И тем не менее, «рациональная линия» бесконечно «короче» «иррациональной»!

Занимательная Гугология, часть 2. Есть ли что-нибудь за пределами бесконечности?

Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью я настоятельно рекомендую ознакомиться с первой частью этого цикла, поскольку многие понятия, которые я использую здесь, там уже были разъяснены, и здесь я повторяться не буду.

Дисклеймер для специалистов и тех кто уже немного в теме: В данной части под бесконечными множествами (∞) подразумеваются только кардинальные (א). В следующей части я объясню, что означают кардинальные множества. Все это сделано для максимального облегчения и так непростого материала.

Бесконечность очень любят математики. Однако физики приходят в ужас, когда в их уравнениях встречается бесконечность. Например, если спросить у физика, что находится внутри черной дыры он, будучи честным, ответит "не знаю", потому что решение уравнения черной дыры выдает в результате ответ, что в ее центре находится бесконечное искривление пространства. Иными словами, как только у физика где-то получается бесконечность он просто разводит руками и уповает на то, что однажды сможет создать уравнение, которое даст более определенный ответ. На самом деле в математике с бесконечностью тоже не все в порядке. До 1908 г. математики пытались доказать существование бесконечности, пока Эрнст Цермело не постановил, что существование бесконечности – это аксиома.

Напомню, что такое аксиомы. Это утверждения, принимаемые без доказательств, на их основе строится вся математика и вообще по-сути любая формализация: письменная, устная или мысленная. Например, в геометрии очевидно, что через две точки можно провести только одну прямую. Только вот это нельзя доказать – это аксиома, так есть и всё, смиритесь с этим!

Даже арифметика, которую проходят в начальной школе имеет свои аксиомы, их четыре. Я записал их здесь в немного измененном, но более понятном виде.

Их нельзя доказать или вывести из других утверждений. Так есть, и бессмысленно спрашивать почему они такие.

Остальные числа и арифметические действия это всего лишь дальнейшая формализация этих аксиом. Вообще, формализация — это и есть та способность человека, которая дает ему возможность постигать сверхбольшие числа и бесконечность, представляя их в виде формальных абстракций.

Но вернемся к бесконечности. Зачем вообще была нужна эта аксиома, которая вводит ее как должное? Дело в том, что без нее в математике возникало такая неприятная штука, которую называли множество всех множеств. Что ж это за гадость такая? Множество всех множеств – это абстрактное абсолютнейшее множество, которое включает в себя вааааще все, что только возможно, мыслимо и немыслимо. Однако существование такого множества делает математику противоречивой. В историю это противоречие вошло, как парадокс Рассела, в честь математика который его сформулировал.

Парадокс на самом деле весьма прост и звучит так: если существует множество всех множеств, то куда входит это множество. Для наглядности было придумано множество загадок. Мне больше всего нравится эта. Существует страна, в которой есть три закона: все жители должны жить в городах, в каждом городе должен быть мэр, мэр не может жить в одном городе с простыми горожанами. Казалось бы, очевидным решением было создать отдельный город для мэров – но вопрос, где будет жить мэр города мэров?

Если мы вводим бесконечность как аксиому, тогда необходимость в таком множестве автоматически отпадает. А в 1931 г. Курт Гёдель и вовсе доказал, что существование бесконечности может быть только аксиомой, то есть доказать, что бесконечность существует невозможно, можно только принять это.

Итак, бесконечность существует и она больше любого числа.

Гугол, гуголплекс, Число Грэма и даже любые придуманнанные в любых более сильных нотациях числа — все они ничто по сравнению с бесконечностью, ведь к ним всегда можно сделать +1 и снова +1 и так далее. Не существует самого большого числа, из него всегда можно сделать число еще больше.

А если к бесконечности прибавить 1, это что-нибудь изменит? Нам не нужно быть выдающимся математиком, чтобы осознать: сколько не прибавляй к бесконечности, она все равно останется бесконечностью. Хотя выдающиеся математики могут тут с нами поспорить, но об этом я расскажу в третьей части цикла.

То же самое с умножением. Даже если мы сложим или умножим бесконечность саму с собой, ничего не изменится.

Следовательно, вот вам и первые свойства бесконечности:

Дальше ориентироваться в арифметике бесконечностей нам поможет задача, называемая Отель Гильберта. По условиям задачи мы имеем отель с бесконечным количеством номеров, в которых живет бесконечное количество постояльцев. Вопрос, как заселить в отель еще одного человека?

Ответ, звучит так: нужно обратиться к постояльцу из номера "1" с просьбой о переселении в следующий по счету номер, и чтобы он попросил о том же постояльца из того номера, передав, что администрация отеля приносит глубочайшие извинения за неудобства. В итоге все постояльцы все равно останутся с номерами, а у нас появиться одно свободное место.

А если мы выселим одного постояльца, сколько их останется в гостинице. Конечно, по логике получается, что ∞. А если 2ух или 3ех — то тоже ∞. А если выселим ∞ постояльцев? По идее ∞ — ∞ должен получиться 0, но если рассмотреть эту ситуацию подробнее, то все оказывается не так просто. Допустим, если мы возьмем постояльцев из четных номеров и выселим их из отеля. Их число будет бесконечным, как собственно и число постояльцев оставшихся в нечетных номерах, следовательно:

Наши действия с выселением из четных номеров это все равно, что разделить бесконечность на два. Получается, что бесконечность деленная на любое число тоже дает бесконечность. И правда, ведь мы можем заселять постояльцев через один номер, оставляя их пустыми, так что на каждого постояльца придется по два номера, или через четыре номера, так что на каждого постояльца придется по пять номеров. Можем вообще каждому заселяющемуся отдавать по 10 или 50 номеров, да хоть по ∞ номеров в идеале, все равно в результате такого расточительства гостиничной собственности все постояльцы будут заселены, следовательно:

А раз мы выяснили, что ∞ / ∞ = ∞, это значит что бесконечность всех возможных дробных чисел равна бесконечности всех возможных целых чисел.

Ну а как быть со степенью. По сути, возведение бесконечности в степень – это тоже, что перемножить ее между собой несколько раз. Поэтому, в какую бы степень мы не возвели бесконечность, это не должно ничего изменить в сложившейся ситуации.

Однако возведение в бесконечную степень изменит результат. Но вот так сразу объяснить почему, не получится. Придется зайти издалека.

Для начала вспомним, чем рациональные числа отличаются от иррациональных.

Знаменитая теорема Пифагора, говорит, что если катеты прямоугольного треугольника равны 1, то его гипотенуза будет равна квадратному корню из двух. Понятно, что √2 это нецелое число. Но оно удивительно тем, что не существует дроби, в виде которой можно его представить, поскольку иначе числитель и знаменатель этой дроби должны быть бесконечными.

√2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856 9671875376948073176679737990732478462107 0388503875343276415727.

По легенде считается, что Пифагор сам пришел к такому выводу. Естественно он понимал, что это будет нецелое число, но поначалу ему и в голову не приходило, что √2 невозможно записать дробью. Он считал, что должна существовать какая-то большая дробь, которая будет равна √2. Пифагор решил выяснить так ли это. Если увеличить стороны катетов до 2, то гипотенуза будет равна √8, что тоже не является целым числом. Пифагор думал, что увеличивая величину катетов, он рано или поздно получит целое число гипотенузы и докажет, что √2 можно записать дробью. Он был полностью обескуражен, когда понял, что в своем эксперименте целого числа он не получит никогда, сколько бы он не увеличивал стороны катетов.

Для Пифагора это был особенный удар, потому что он верил, что в основе нашего мира лежат целые числа, и что любое явление может быть составлено из отдельных единиц. Но из его эксперимента следовал вывод, что невозможно составить гипотенузу равностороннего прямоугольного треугольника из тех же единиц, из которых составлены катеты, и что в мире существуют числа, не поддающиеся рациональному восприятию. Опять же по легенде раскрытие этой тайны среди его последователей каралось смертью, ибо полностью разрушало их философию.

Но какое это отношение имеет к бесконечности? Самое прямое! Когда мы, например, делим бесконечную линию на отрезки, то получаем бесконечность отрезков, которые можно считать. Естественно, если мы попытается их сосчитать, то нам не встретится отрезка под номером √2. Однако если разбить бесконечную линию на безразмерные точки, то где-то на линии можно поставить точку равную отметке в √2. Как это сделать? Очень просто. Берем наш равносторонний прямоугольный треугольник прикладываем его сначала катетом, отмечаем точку 1, затем прикладываем гипотенузой и получаем точку √2. Но проблема в том, что используя традиционное математическое деление получить эту точку невозможно. Значит, сколь малые дробные числа мы бы себе не представили, где-то между ними всегда будут находиться иррациональные числа.

А это значит, что:

То есть у нас существует две разные бесконечности, одна больше другой. Спрашивать во сколько раз или на сколько раз бессмысленно. Больше и все тут. Их принято записывать с индексами 0 и 1, это называют мощностью бесконечности. То есть теперь ∞ = ∞₀

Причем бесконечность бо́льшей мощности с легкостью поглащает бесконечность меньшей мощности: ∞₁ + ∞₀ = ∞₁ и ∞₁ ⋅ ∞₀ = ∞₁

Хорошо, но как со всем этим связано возведение в бесконечную степень? Опять же так сразу понять не получится. Сперва, нам нужно узнать, как хранятся иррациональные числа в компьютере.

Понятно, что иррациональное число это такое число, у которого бесконечная последовательность чисел, после запятой. А компьютер не может хранить бесконечную последовательность. Обычно хранится где-то 14, 15 знаков после запятой, остальные округляются. То есть самое точное значение √2, которое можно использовать в обычной компьютерной программе это 1,4142135623731.

А можно ли повысить точность? В принципе можно, но чтобы понять, как, нужно разобрать как компьютер вообще хранит числа.

Ну, это просто. Итак, сколько видов информации может хранить одна лампочка? Ответ очевиден: 2 – вкл и выкл. А две лампочки? Ответ: 4 – выкл+выкл, вкл+вкл, выкл+вкл, вкл+выкл.
А если у нас n лампочек:

Это выражение основа информатики. Оно называется Булеан. Лампочки это биты, а их булеан (2 n ) это числа, которые могут быть в них закодированы. То есть, имея 1 бит, мы можем закодировать числа от 0 до 1, имея 2 бита от 0 до 3, имея 8 бит от 0 до 255.

Для хранения дробных чисел используется 48 бит, что дает возможность записать любое дробное число с точностью от 0 до 1/281474976710655.

Соответственно, чем больше мы определим бит для записи дробного числа тем точнее оно может быть. Мы выяснили, что у иррационального числа бесконечный числитель и знаменатель, значит для их записи нужно бесконечное число бит. Значит бесконечное число бит позволит нам записать иррациональное число со всей его бесконечной точностью, а на самом деле, даже не одно число а все иррациональные числа, ибо ∞ + ∞ = ∞. Получается бесконечность иррациональных чисел и бесконечность целых чисел должны соотноситься как 2 n .

Но на самом деле математики не знают так ли это, ибо это не доказано. Более того, на сегодняшний день доказательство этой гипотезы является одной из самых сложных нерешенных задач в математике (континуум-гипотеза), за разрешение которой назначена награда в миллион долларов. Проблема доказательства даже не в том, что оно очень сложное, а в том, что весь существующий на сегодня математический формализм не позволяет этого доказать. Подробнее об этом я расскажу в третьей части. Пока мы можем уверенно сказать лишь, что ∞ < 2 ∞ .

Но в нашем обсуждении не так уж и важно, верна континуум-гипотеза или нет. В любом случае у нас появилась арифметическая возможность получать новые бо́льшие бесконечности.

Но для начала, давайте посмотрим, где можно встретить отражение бесконечностей разных мощностей.

Самое интересное в этом, то что на сегодняшний день неизвестна ни одна совокупность абстрактных объектов, которая составляла бы бесконечности третьей мощности (∞₃). То есть, ∞₃ не имеет никаких соответствий, даже если попытаться описать с помощью нее всевозможные абстрактные понятия. Ничто известное человечеству не составляет ∞₃. Она не имеет никаких аналогий не только в реальности, но и в абстракции.

Можно сказать, что бесконечности выше третьей мощности это всем абстракциям абстракции. Фактически они не имеют никаких практических описательных применений. Тем не менее, приведенная выше формула позволяет нам создавать все более мощные бесконечности:

Хоть при помощи них уже нельзя ничего сосчитать, тем не менее, они существуют. Потому что все это следует из принятых нами аксиом арифметики и аксиомы бесконечности.

Но хорошо, вот мы дошли до бесконечности бесконечной мощности ∞_∞, чтобы это не значило. А может ли быть у бесконечной мощности своя мощность, то есть:

А почему бы и нет. Тогда получается за ней последует ∞_∞1. Однако некоторые могут скептически отнестись к такой конструкции. И хочу сказать, что ваши сомнения оправданы. Ведь мощности у бесконечностей выражаются натуральными числами, а как мы выяснили, бесконечность натуральных чисел это ∞₀, и как такое возможно, что мощности вдруг стали исчиляться ∞₁? Отвечаю: это возможно, но я пока не буду объяснять почему, скажу лишь, что такую конструкцию допускает континуум-гипотеза, подробнее об этом я расскажу в третьей части цикла.

Тогда получается, что за ∞_∞1 идет ∞_∞2 . ∞_∞∞, . и так далее. Но чтобы продвигаться дальше арифметическим методом, степени нам будет уже недостаточно. Нам понадобятся более сильные арифметические действия. Начнем с тетрации:

С ней вроде бы все понятно, с ее помощью можно увеличивать вложенность бесконечных мощностей. На очереди пентация бесконечностей.

С ее помощью мы добрались до бесконечности бесконечной мощности, у которой бесконечная мощность . и так до бесконечности. Математики называют это лестницей бесконечности.

Многим может показаться, что всё, финиш, дальше продвигаться некуда. Но давайте представим, что в этой лестнице не просто ∞₀ ступенек, а ∞₁ ступенек. Некоторые из вас опять же возразят: как такое может быть, ведь ступеньки в этой лестнице отдельные счетные элементы и все их бесконечное множество не может превыщать по мощности ∞₀. И опять же отвечу, что континуум-гипотеза это допускает, как допускает существование ∞_∞1, как и обещал продробнее это будет рассмотрено в третьей части цикла. Пока поверьте на слово, что это возможно.

Теперь используя этот нюанс, попробуем выразить хескацию бесконечностей. Чтобы понять как, смотрите на рисунок ниже.

Вот этот последний монстр и будет ∞[6]∞. То есть у нас уже не просто лестница бесконечностей. А это лестница длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая. (и.т.д).

Визуализировать ∞[7]∞ будет еще сложнее. Это будет выглядеть так:

Конечно вам может показаться, что все это пустые измышления. Может быть и так, но раз математика позволяет нам создавать такие структуры это значит, что они существуют, пусть не в реальности, пусть как абстракции, но существуют.

А может гипероператор быть больше чем обычная бесконечность, например ∞[∞₁]∞? Может. И это все равно, что ∞[∞[3]∞]∞. А может быть еще больше? Конечно. Может быть и таким ∞[∞_∞]∞ = ∞[∞[4]∞]∞. Пусть хоть он будет лесницей бесконечности ∞[∞_∞∞∞. ]∞ = ∞[∞[5]∞]∞. Пожалуйста. Вот только мы же не сможем визуализировать мощности таких структур, но опять же, это не значит, что они не существуют.

Итак, раз у нас уже начались вложения гипероператора, давайте сразу перейдем к ∞[∞[∞]∞]∞, затем к ∞[∞[∞[∞]∞]∞]∞ и так далее.

Затем мы можем привлечь функцию superhyper(), а после чего функцию quasi(), которые как вы помните я ввел еще в первой части цикла. Или можем сразу перейти к более сильным нотациям, с которыми я вас так же вкратце познакомил в конце первой части.

Что дальше? Дальше идут еще более сильные нотации, которых я подробнее коснусь в пятой части цикла. Но так или иначе, дойдя до самой сильной нотации из придуманных, можно придумать еще более сильную нотацию, которая будет обладать еще бо́льшей рекурсией. А затем ввести еще одну, и еще одну, и еще. Понимаете куда я клоню? Последующим обобщениям, вложениям и рекурсиям нет конца.

Казалось бы, всё, дальше продвигаться бессмысленно, но математики пошли еще дальше.

Так же как аксиома арифметики устанавливает, что существуют числа, так же как аксиома бесконечности устанавливает, что существует бесконечность. Так же математики придумали новую аксиому, что существует недостижимость (INACCESSIBLE).

Что же это такое? Это означает, что существует нечто бо́льшее, чем любая из построенных нами бесконечностей.

То есть, какую бы бесконечность в результате введения новых функций мы бы не создали, недостижимость все равно будет всегда больше. Сколько бы рекурсий поверх нашей бесконечности мы бы не накручивали недостижимости мы так и не достигнем.

Можно возразить, ведь мы ее не получили, а выдумали. Но и обычную бесконечность математики не могут получить, а вводят как аксиому, значит, фактически тоже выдумывают. Даже обычные числа люди выдумали (ввели как аксиому) в природе нет ни 1, ни 2 — это абстракции. Разница лишь в том, что у чисел и бесконечности есть применимость, а у недостижимости нет. И вообще, как я уже здесь неоднократно упоминал, слово "выдумать" в математике правомерно до тех пор пока ново-выдуманное не противоречит старо-выдуманному.

Поэтому, не думаете же вы что математики на этом остановились? Конечно же нет, они задались вопросом, а может ли быть что-то бо́льшее. Для этого было напридумано множество новых аксиом.

Вот одна из таких аксиом:
Существует такое множество, величину которого нельзя описать принятым ранее математическим языком. Такое множество называют неописуемой недостижимостью (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE). Такую недостижимость мы даже не можем выразить, используя значок "∞", как мы сделали это с обычной недостижимостью, ведь согласно определению это невозможно. Математики лишь утверждают, что:

Что ж, теперь у нас уже четыре аксиомы. Аксиома о существовании чисел, аксиома о существовании бесконечности, аксиома о существовании недостижимости, аксиома о существовании неописуемой недостижимости.

Как и говорилось, в математике есть и другие придуманные аксиомы, которые создают еще бо́льшие недостижимости. Вот их неполный перечень, расставленный в порядке возрастания:

недостижимость (INACCESSIBLE)
гипер-недостижимость (HYPER-INACCESSIBLE)
n-гипер-недостижимость (N-HYPER-INACCESSIBLE)
слабокомпактная недостижимость (WEAKLY COMPACT INACCESSIBLE)
неописуемая недостижимость (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE)
несворачиаемая недостижимость (UNFOLDABLE INACCESSIBLE)
итерируемая недостижимость (INEFFABLE INACCESSIBLE)
рамсеевкая недостижимость (RAMSEY INACCESSIBLE)
измеримая недостижимость (MEASURABLE INACCESSIBLE)
сильная недостижимость (STRONG INACCESSIBLE)
сильнокомпактная недостижимость (STRONGLY COMPACT INACCESSIBLE)
сверхсильная недостижимость (SUPERSTRONG INACCESSIBLE)
срехкомпактная недостижимость (SUPERCOMPACT INACCESSIBLE)
расширяемая недостижимость (EXTENDIBLE INACCESSIBLE)
n-сверхсильная недостижимость (N-SUPERSTRONG INACCESSIBLE)
почти гигантская недостижимость (ALMOST HUGE INACCESSIBLE)
гигантсткая недостижимость (HUGE INACCESSIBLE)
сверхгигантская недостижимость (SUPERHUGE INACCESSIBLE)
n-гигантская недостижимость (N-HUGE INACCESSIBLE)
разрядовая недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE)

Каждую из них создает отдельная новая аксиома или группа аксиом. Однако объяснить, что большинство из них означает человеку, не являющемуся математиком, практически невозможно. Даже математически подкованному специалисту, если он не знаком или поверхностно знаком с теорией множеств, скорее всего не понять их смысл.

Так, например, аксиома, которая создает самую большую известную на текущий момент сущность – разрядовую недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE), была придумана в 1978 году, и звучит так:

Существует нетривиальное элементарное вложение L(V_λ + 1) в себя с критической точкой ниже λ, потому как существует нетривиальное элементарное вложение V_λ + 1 в себя, потому как существует нетривиальное элементарное вложение V в переходный класс М, который включает V_λ, где λ — первая фиксированная точка выше критической точки, потому как существует нетривиальное элементарное вложение V_λ в себя.

Врятли кто возьмется объяснить простым языком, что все это значит. Однако это кажется просто невероятным, как возможности нашего разума, как сила математического формализма способна создавать такие сущности, которые больше не только любых физических величин, но и любых мыслимых абстрактных объектов.

Пока что ничего бо́льшего чем разрядовая недостижимость не придумали.

Но вопрос все равно остался открытым, доколе можно вводить новые аксиомы, которые будут позволять нам увеличивать невообразимость создаваемых нами сущностей?

Что ж, математики не знают ответа на этот вопрос. На самом деле ответа тут может быть два:

1 – однажды мы дойдем до того, что любая новая аксиома сделает противоречивыми все наши построения и значит всё, бо́льших абстракций придумать невозможно.

2 – новым аксиомам может не быть конца.

На этом предлагаю остановиться и сделать передышку. В третей части я расскажу как можно упорядочить бесконечность, и как ни странно, понимание этого еще на один шаг приблизит нас к построению самого большого из придуманных чисел, о чем я поведаю уже в четвертой части цикла.

Таблица умножения на 0

При умножени любого числа на 0 результат всегда будет равнятся 0.

0×

Множители			Произведение (Результат)
0	×	1	=	0
0	×	2	=	0
0	×	3	=	0
0	×	4	=	0
0	×	5	=	0
0	×	6	=	0
0	×	7	=	0
0	×	8	=	0
0	×	9	=	0
0	×	10	=	0

Рассмотрим пример:

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

В равенстве все слагаемые одинаковые, а занчит сложение можно заменить умножением.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 × 5 = 0

При умножении нуля на любое число получается 0.

Дополнительная таблица до 100

0×

Множители			Произведение (Результат)
0	×	11	=	0
0	×	12	=	0
0	×	13	=	0
0	×	14	=	0
0	×	15	=	0
0	×	16	=	0
0	×	17	=	0
0	×	18	=	0
0	×	19	=	0
0	×	20	=	0
0	×	21	=	0
0	×	22	=	0
0	×	23	=	0
0	×	24	=	0
0	×	25	=	0
0	×	26	=	0
0	×	27	=	0
0	×	28	=	0
0	×	29	=	0
0	×	30	=	0
0	×	31	=	0
0	×	32	=	0
0	×	33	=	0
0	×	34	=	0
0	×	35	=	0
0	×	36	=	0
0	×	37	=	0
0	×	38	=	0
0	×	39	=	0
0	×	40	=	0
0	×	41	=	0
0	×	42	=	0
0	×	43	=	0
0	×	44	=	0
0	×	45	=	0
0	×	46	=	0
0	×	47	=	0
0	×	48	=	0
0	×	49	=	0
0	×	50	=	0
0	×	51	=	0
0	×	52	=	0
0	×	53	=	0
0	×	54	=	0
0	×	55	=	0
0	×	56	=	0
0	×	57	=	0
0	×	58	=	0
0	×	59	=	0
0	×	60	=	0
0	×	61	=	0
0	×	62	=	0
0	×	63	=	0
0	×	64	=	0
0	×	65	=	0
0	×	66	=	0
0	×	67	=	0
0	×	68	=	0
0	×	69	=	0
0	×	70	=	0
0	×	71	=	0
0	×	72	=	0
0	×	73	=	0
0	×	74	=	0
0	×	75	=	0
0	×	76	=	0
0	×	77	=	0
0	×	78	=	0
0	×	79	=	0
0	×	80	=	0
0	×	81	=	0
0	×	82	=	0
0	×	83	=	0
0	×	84	=	0
0	×	85	=	0
0	×	86	=	0
0	×	87	=	0
0	×	88	=	0
0	×	89	=	0
0	×	90	=	0
0	×	91	=	0
0	×	92	=	0
0	×	93	=	0
0	×	94	=	0
0	×	95	=	0
0	×	96	=	0
0	×	97	=	0
0	×	98	=	0
0	×	99	=	0
0	×	100	=	0

Как быстро и легко выучить таблицу умножения?

Первое, что нужно для начала изучения таблицы умножения — это иметь перед глазами саму таблицу. Лучше, если обучение будет проходить по таблице умножения Пифагора, потому как приведённая выше таблица это лишь столбик, в котором число 0 умножают на различные числа. В данном случае невозможно объяснить логические связи между цифрами и закономерности между ними, поэтому ребёнку придётся заучить данный столбик наизусть, как стихотворение. Мы же рекомендуем начинать изучение таблицы умножения по таблице Пифагора.

Перед началом изучения таблици умножения рекомендуем ознакомиться с материалом: как быстро и легко выучить таблицу умножения. Не тратьте свои нервы и нервы своего ребёнка.

Таблицу умножения Пифагора можно использовать на нашем сайте, а также скачать её или распечатать.

Проверь действие

Проверь действие с помощью обычного калькулятора. Набери его на калькуляторе и получи ответ.