Какие точки симметричны относительно прямой ll

Какие точки называют симметричными относительно прямой l

Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины три пятёрки, а у Игоря — шесть пятёрок.

помогите пожалуйста срочно разобраться. Если можно чертеж

с углом 4 3. Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины три пятёрки, а у Игоря — шесть

Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины-три пятёрки, а у игоря-шесть пятёрок.

Начертите круговую диаграмму точка радиус круга 6 см. На клумбе выросла 20 гладиолусов, 8 астр и 8 хризантем.

Постройте столбчатые диаграммы у Пети по математике четыре пятёрки У Зины три пятёрки а Игоря шесть пятёрок

Симметрии четырехугольника относительно прямой

Если прямая проходит через середину отрезка А₁А₂ и перпендикулярна к нему, то точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая — ось симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены оси симметрии):

Точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка А₁А₂. Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены центры симметрии):

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Четырёхугольники,симметрия

Презентация о видах четырёхугольников и их свойствах.

Скачать:

Вложение	Размер
chetyryokhugolniki_simmetriya.pptx	619.06 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Что я знаю о четырёхугольниках Выполнила Безверхняя Кристина учитель Ефимова Вера Сергеевна

Четырёхугольники Геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх отрезков, последовательно соединяющих эти точки, называется четырёхугольником.

Взгляд в прошлое. В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: Квадраты,прямоугольники,равнобедренные и прямоугольные трапеции. Термин «параллелограмм» греческого происхождения и был введен Евклидом.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения,оно означало в древности вращающееся тело,веретено,юлу . «Трапеция»-слово греческое,означавшее в древности «столик».В «началах» термин «трапеция» применяется не в современном,а в другом смысле:любой четырехугольник(не параллелограмм) «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1в.)

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная .

Вершины многоугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями . Углом (или внутренним углом ) многоугольника при данной вершине называется угол , образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником . Сумма внутренних углов плоского выпуклого -угольника равна :

Многоугольник называют выпуклым , если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий: Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон); Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей; Каждая диагональ лежит внутри многоугольника; Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклые и невыпуклые четырёхугольники

Четырехугольник-фигура,которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков.При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой,а соединяющие их отрезки не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников: Параллелограмм Ромб Прямоугольник Квадрат Трапеция

Параллелограмм. Параллелограмм-четырехугольник ,у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки Противолежащие стороны попарно равны Противолежащие углы равны Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 0 Каждая из диагоналей разбивает четырехугольник на два равных треугольника

Свойства Противолежащие стороны равны Противолежащие углы равны Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 )

Ромб Ромб-параллелограмм,у которого все стороны равны.

Признаки ромба Две его смежные стороны равны Его диагонали перпендикулярны Одна из диагоналей является биссектрисой его угла

Свойства ромба Диагонали перпендикулярны Диагонали являются биссектрисами углов

Прямоугольник Прямоугольник-параллелограмм,у которого все углы прямые

Признаки прямоугольника Один из углов прямой Его диагонали равны

Свойства прямоугольника Диагонали равны Противолежащие стороны равны Противолежащие углы равны Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон d12+d22=2(a2+b2)

Квадрат Квадрат-прямоугольник,у которого все стороны равны.

Признаки квадрата Все стороны равны Прямоугольник является квадратом,если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Свойства квадрата Все углы квадрата прямые Диагонали квадрата равны,взаимно перпендикулярны,точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Определение. Симметрия (означает «соразмерность» ) — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Симметрия относительно точки — это центральная симметрия (рис. 23), а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия (рис. 24).

ВИДЫ СИММЕТРИИ

Одна точка называются симметричной другой относительно прямой, если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно некоторой точки той же фигуры.

зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии.

Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка или ботинок не подходит для правой руки или ноги и наоборот). Они называются зеркально равными.

центральная симметрия

Две точки называются симметричными относительно центра симметрии О, если О — середина отрезка, соединяющего эти точки. Точка О считается симметричной самой себе.

Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра О, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, проходит через центр О и делится в этой точке пополам. Точка О называется центром симметрии.

поворотная симметрия (симметрия вращения)

При поворотной симметрии переход частей фигуры в новое положение или преобразование исходной фигуры происходит при повороте фигуры на определенный угол вокруг точки, которая называется центром поворота. Поворотная симметрия может рассматриваться на плоскости и в пространстве.

Тело (фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360°/n (n – целое число, например, 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности) вокруг некоторой прямой (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем осевую симметрию.

симметрия подобия

Представляет собой своеобразный аналог предыдущих симметрий с той лишь разницей, что она связана с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.

переносная (трансляционная симметрия)

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса.

примеры симметрии геометрических фигур

Разными видами симметрии могут обладать и плоские и объемные фигуры. Например, квадрат, прямоугольник, ромб имеют и центр симметрии и оси симметрии.

Окружность и круг имеют центр симметрии и бесконечно много осей симметрии. Объемные фигуры могут иметь центр симметрии, оси симметрии и обладать зеркальной симметрией.

Правильные многогранники своей симметрией с древних времён привлекали к себе внимание учёных, архитекторов, художников. Их по праву называют самыми симметричными из всех многогранников.

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга “Начал” Евклида.

Очень симметричной фигурой является, например, куб. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Задача 13

Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

1. Находим параметрические уравнения прямой. Для этого полагаем

2. Подставляя эти выражения для в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра , при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

3. Найденное значение подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

Замечание. Если в результате решения уравнения относительно параметра получим противоречие, то прямая и плоскость параллельны (это эквивалентно условию ).

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Запишем параметрические уравнения прямой.

Подставляем в уравнение плоскости:

Откуда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут

Задача 14

Симметрия относительно прямой или плоскости

Симметрия относительно прямой

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

1. Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку . Так плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой, т.е.

Поэтому уравнение плоскости будет

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости (см. задачу 13).

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно заданной прямой будет:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка , поэтому

Симметрия относительно плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.

Поэтому уравнение прямой будет

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости (см. задачу 13).

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости.

Уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно заданной плоскости будет:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка , поэтому

Литература

Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — СПб. : Лань, 2004. — 624 с.

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). — СПб: «Лань», 2008.- 240 c.

Привалов И.И. Аналитическая геометрия. — СПб. ; М. ; Краснодар: Лань, 2007. — 304 с.

Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 336 с.

Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. — СПб.; М. ; Краснодар : Лань, 2007. — 288 с.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, физматкнига, 2007. — 432 с.