Программа которая построит график сердца
Перейти к содержимому

Программа которая построит график сердца

  • автор:

WolframAlpha для всех

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Сердце Тобина и другие математические поверхности и графики функций в форме сердца

Изображение сердца во все времена было символом сердечной привязанности. И если обычные мужчины выражают свои высокие чувства обычными словами, а поэты — открываются своим избранницам в стихах, то математик, вполне естественно, может предпочесть воспользоваться языком математики. В этом ему помогут графики функций и поверхности в форме сердца, которые умеет строить Wolfram|Alpha.

Насколько индивидуальными и неповторимыми будут эти графики, зависит лишь от фантазии их авторов. Классическим вариантом является трехмерное изображение алгебраической поверхности в форме сердца, которую изучил математик Gabriel Taubin в своей докторской диссертации (Taubin 1993, 1994). Эта поверхность («сердце Тобина») описывается следующим алгебраическим уравнением 6-го порядка:

Чтобы разнообразить вид этой поверхности, можно придать ей, например, красный цвет:

График в виде сердца уравнение

Каждый из вас знаком со многими графиками функций: параболой, гиперболой, кубической параболой, но знаете ли вы, что существует такая функция, графиком которой является сердце?

Из уравнения вида ( x 2 + y 2 – 1)3 – x 2 y 3 = 0 получается график в форме сердца.

Давайте попробуем решить его .

Извлечем из кубического корня обе части уравнения:

У нас получилось квадратное уравнение, где a = 1; b = — x 2/3 ; c = x 2 — 1

Находим дискриминант: D = b 2 – 4 ac = (- x 2/3 ) 2 – 4*1*( x 2 -1) = x 4/3 – 4 x 2 + 4 и корни:

Следовательно, на одно значение x приходится два значения y .

Находим несколько значений y , подставляя в функцию значения x :

Пусть математика сложит сердца

Один и один — получается два. Все одиноки — здесь ты, а там я.
Люди всегда одиноки вдвойне сами с собою наедине.
Если б их что-то сблизить могло, сразу б из двух получилось одно.
Пусть математика сложит сердца — чтобы проделать нам путь до конца.

Уильямс Джей, «Герои Ниоткуда»

Вероятно, пост следовало назвать «Как нарисовать анимированное сердечко ко дню Святого Валентина, используя математику не по назначению». Я отверг это название в пользу более поэтичного: как-никак, надвигается замечательный романтический праздник, который мы, айтишники и прочие нёрды, должны встретить во всеоружии. Я сразу покажу вам результат, а под хабракатом будет много букв о том, как я этого результата достиг.

Дисклеймер

Я осознаю, что красивое мигающее сердечко можно сделать и без малейшего знания математики. Но разве это интересно?

Шаг 1. Параметризуем сердечко.

Для начала нам нужен математический объект, хотя бы отдалённо напоминающий сердечко. К счастью, для меня этот шаг был тривиален: ещё пару лет назад я обнаружил замечательную формулу как раз для такого случая (из эстетических соображений график на рисунке растянут по горизонтали, на самом деле он должен умещаться между -1 и 1).

Формула была обнаружена из следующий соображений: возьмём обыкновенную окружность и представим, что она состоит из желе, будучи при этом жёстко прикреплена к оси ординат. Теперь «подуем» на неё снизу: прибавим к координате игрек некую функцию w(x) = w(x(t)), равную нулю при x=0, монотонно возрастающую при x>0 и чётную по x. После такого «дуновения» половинки окружности сместятся вверх, образуя «выпуклости» сердечка, а благодаря жёсткому креплению к оси Y образуется нижний «хвостик» и верхняя «вмятинка». В данном случае w(x(t)) = |x| 1/2 = |cos(t)| 1/2 . Можете самостоятельно попробовать другую «функцию дуновения» и посмотреть, что из этого выйдет.

Шаг 2. От параметрического задания к неявной функции.

x = cos(t)
y = sin(t) + |cos(t)| 1/2
y — |x| 1/2 = sin(t)
(y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 = 1
f(x,y) = (y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 — 1 = 0

Шаг 3. От неявной функции к функции двух переменных. Функция цвета.

Имея на руках f(x,y), мы наконец можем осуществить свою мечту: нарисовать красивую цветную картинку. Для этого нам понадобится ещё одна функция: функция цвета. Она должна принимать вещественный аргумент r и возвращать целое значение от 0 до 255. Также желательно, чтобы она была монотонна на каждой полуоси и имела максимум в точке нуль. В качестве такой функции можно взять, например, эту:

Здесь 100 — «магическое число», позднее мы его в полном соответствии с «хорошим стилем программирования» заменим параметром.
Теперь для каждой точки (x,y) мы можем задать цвет как rgb(c(f(x,y)), 0, 0). Те точки, которые раньше принадлежали непосредственно графику «сердечка», стали ярко-красными (обратите внимание на неподвижный светлый контур на гифке). По мере удаления от графика цвет будет тускнеть, пока на некотором расстоянии от него не станет чёрным.

Шаг 4. Добавляем параметр, создаём анимацию.

Теперь заменим магическое число 100 параметром k. Новая функция цвета выглядит так:

https://amdy.su/wp-admin/options-general.php?page=ad-inserter.php#tab-8

Пусть k — это некоторая функция времени. Тогда для каждой точки изображения в каждый момент времени мы можем вычислить её цвет (что и является, по сути, математическим определением анимации). Сначала я хотел взять что-нибудь типа k(t) = 80(sin(t)+1). Потом, однако, я понял, что при большом количестве кадров гифка будет весить более 640 килобайт. С другой стороны, при малом количестве кадров нет смысла заморачиваться с аналитическим заданием k(t). В итоге, чтобы добиться пульсирования сердца, я последовательно присвоил k значения 80, 90, 100, 110, 120, 110, 100, 90, а затем изображения, сгенерированные для этих значений, объединил в циклический GIF. В общем-то, всё.

График в виде сердца

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом [1] . Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Содержание

Уравнения [ править | править код ]

Пусть a — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах [2] :

  • В прямоугольных координатах[1] : ( x 2 + y 2 + 2 a x ) 2 − 4 a 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 +y^ +2ax)^ -4a^ (x^ +y^ ),=,0>
  • В прямоугольных координатах (параметрическая запись): x = 2 a cos ⁡ t − a cos ⁡ 2 t y = 2 a sin ⁡ t − a sin ⁡ 2 t
  • В полярных координатах[2][1] : r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ )

Свойства [ править | править код ]

  • Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля
  • Кардиоида является частным случаем синусоидальной спирали
  • Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
  • Кардиоида имеет один касп.
  • Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах

r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) равна: L = 2 ∫ 0 π r ( φ ) 2 + ( r ′ ( φ ) ) 2 d φ = ⋯ = 8 a ∫ 0 π 1 2 ( 1 − cos ⁡ φ ) d φ = 8 a ∫ 0 π sin ⁡ ( φ 2 ) d φ = 16 a ^

+(r'(varphi ))^ >>;dvarphi =cdots =8aint _ ^

>(1-cos varphi )>>;dvarphi =8aint _ ^

sin( >)dvarphi =16a>

  • Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах

r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) равна: S = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π ( r ( φ ) ) 2 d φ = ∫ 0 π 4 a 2 ( 1 − cos ⁡ φ ) 2 d φ = ⋯ = 4 a 2 ⋅ 3 2 π = 6 π a 2 >int _ ^

(1-cos varphi )^ >;dvarphi =cdots =4a^ cdot >pi =6pi a^ >.

Радиус кривизны любой линии:

ρ ( φ ) = [ r ( φ ) 2 + r ˙ ( φ ) 2 ] 3 / 2 r ( φ ) 2 + 2 r ˙ ( φ ) 2 − r ( φ ) r ¨ ( φ ) . + >(varphi )^
ight]^ > +2 >(varphi )^ -r(varphi ) >(varphi )>> .>

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

r ( φ ) = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) = 4 a sin 2 ⁡ φ 2 , >,> ρ ( φ ) = ⋯ = [ 16 a 2 sin 2 ⁡ φ 2 ] 3 2 24 a 2 sin 2 ⁡ φ 2 = 8 3 a sin ⁡ φ 2 . sin ^ >]^ >> sin ^ >>>= >asin > .>

Обобщение [ править | править код ]

  • Кардиоида есть Синусоидальная спираль при n = 1 2

Кардиоида есть Улитка Паскаля при a = ℓ .

История [ править | править код ]

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon).

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

Один и один — получается два. Все одиноки — здесь ты, а там я.
Люди всегда одиноки вдвойне сами с собою наедине.
Если б их что-то сблизить могло, сразу б из двух получилось одно.
Пусть математика сложит сердца — чтобы проделать нам путь до конца.

Уильямс Джей, «Герои Ниоткуда»

Вероятно, пост следовало назвать «Как нарисовать анимированное сердечко ко дню Святого Валентина, используя математику не по назначению». Я отверг это название в пользу более поэтичного: как-никак, надвигается замечательный романтический праздник, который мы, айтишники и прочие нёрды, должны встретить во всеоружии. Я сразу покажу вам результат, а под хабракатом будет много букв о том, как я этого результата достиг.

Дисклеймер

Я осознаю, что красивое мигающее сердечко можно сделать и без малейшего знания математики. Но разве это интересно?

Шаг 1. Параметризуем сердечко.

Для начала нам нужен математический объект, хотя бы отдалённо напоминающий сердечко. К счастью, для меня этот шаг был тривиален: ещё пару лет назад я обнаружил замечательную формулу как раз для такого случая (из эстетических соображений график на рисунке растянут по горизонтали, на самом деле он должен умещаться между -1 и 1).

Формула была обнаружена из следующий соображений: возьмём обыкновенную окружность и представим, что она состоит из желе, будучи при этом жёстко прикреплена к оси ординат. Теперь «подуем» на неё снизу: прибавим к координате игрек некую функцию w(x) = w(x(t)), равную нулю при x=0, монотонно возрастающую при x>0 и чётную по x. После такого «дуновения» половинки окружности сместятся вверх, образуя «выпуклости» сердечка, а благодаря жёсткому креплению к оси Y образуется нижний «хвостик» и верхняя «вмятинка». В данном случае w(x(t)) = |x| 1/2 = |cos(t)| 1/2 . Можете самостоятельно попробовать другую «функцию дуновения» и посмотреть, что из этого выйдет.

Шаг 2. От параметрического задания к неявной функции.

x = cos(t)
y = sin(t) + |cos(t)| 1/2
y — |x| 1/2 = sin(t)
(y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 = 1
f(x,y) = (y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 — 1 = 0

Шаг 3. От неявной функции к функции двух переменных. Функция цвета.

Имея на руках f(x,y), мы наконец можем осуществить свою мечту: нарисовать красивую цветную картинку. Для этого нам понадобится ещё одна функция: функция цвета. Она должна принимать вещественный аргумент r и возвращать целое значение от 0 до 255. Также желательно, чтобы она была монотонна на каждой полуоси и имела максимум в точке нуль. В качестве такой функции можно взять, например, эту:

Здесь 100 — «магическое число», позднее мы его в полном соответствии с «хорошим стилем программирования» заменим параметром.
Теперь для каждой точки (x,y) мы можем задать цвет как rgb(c(f(x,y)), 0, 0). Те точки, которые раньше принадлежали непосредственно графику «сердечка», стали ярко-красными (обратите внимание на неподвижный светлый контур на гифке). По мере удаления от графика цвет будет тускнеть, пока на некотором расстоянии от него не станет чёрным.

Шаг 4. Добавляем параметр, создаём анимацию.

Теперь заменим магическое число 100 параметром k. Новая функция цвета выглядит так:

Пусть k — это некоторая функция времени. Тогда для каждой точки изображения в каждый момент времени мы можем вычислить её цвет (что и является, по сути, математическим определением анимации). Сначала я хотел взять что-нибудь типа k(t) = 80(sin(t)+1). Потом, однако, я понял, что при большом количестве кадров гифка будет весить более 640 килобайт. С другой стороны, при малом количестве кадров нет смысла заморачиваться с аналитическим заданием k(t). В итоге, чтобы добиться пульсирования сердца, я последовательно присвоил k значения 80, 90, 100, 110, 120, 110, 100, 90, а затем изображения, сгенерированные для этих значений, объединил в циклический GIF. В общем-то, всё.

Дубликаты не найдены

С лекции по анатомии, например.

Поясняю: в норме у человека пульс меняется. Всегда. ЧСС меняется +- несколько ударов в минуту за каждые несколько секунд — поставьте себе постоянный измеритель и поймёте, о чём я. Всего 2 недели назад мерил в течение 2 суток, потому, поверьте, я знаю, о чём я говорю.

В случае инфаркта I-й водитель ритма (в терминологии могу чуть косячить, никогда с ней в ладах не был) отключается, работает II-й (вторичный), который задаёт исключительно ровный пульс, уже не зависящий от состояния организма)
Есть ещё III-й, третичный, водитель ритма (забыл, какая это система), но он не может поддерживать пульс выше 30 ударов в минуту, а потому в случае её работы человек обычно лежит без сознания. Это если отказал II-й, более устойчивый.
III-й же почти неуязвим сам по себе.

Heart Graph 4+

Analyse detailed graphs of your heart rate to help understand how your body is changing over time. No subscription, no accounts; your data stays safe on your device.

Knowing your current heart rate is useful, but seeing in real time how it varies over a longer period gives you much more information, especially when trying to understand how your body is responding to a training plan. Heart Graph can be used for all types of aerobic exercise including running, cycling, rowing or gym work, and of course you can also use it to study your normal heart rate for general health reasons.

Heart Graph allows you to record new data and see your heart rate graph in real time, as well as importing existing data from Apple Health. Data from previous sessions can then be compared to give a deeper understanding of how your body is changing over time, for example by directly comparing the graphs for equivalent sessions, viewing statistics such as max, mean and resting heart rate across sessions, or seeing the proportion of time spent in different heart rate zones aggregated over weeks or months. (Note some features require a one-off In-App Purchase, as described below.)

FREE features of Heart Graph include:
* Display a real-time graph of heart rate against time on your iPhone or iPad
* Support for both Bluetooth sensors and Apple Watch
* No ads
* Review your sessions offline to spot trends in your data
* Integration with Apple Health: import existing workout data and store new workouts
* Maximise the screen area for graphs on iPhone using landscape orientation
* Group related sessions by adding your own notes, then searching for sessions matching those notes
* Record a standard Reference Set at the start of each session to help determine how your body is really doing; if your heart rate is elevated, you may want to take it easy
* Record data in the background if you want to use other heart rate apps (Bluetooth sensors)
* Calculate calories burned, and set a calorie target for each session

Beyond the basics, a single, one-off In-App Purchase will enable the Premium Features, giving you access to more in-depth analysis tools and the ability to design your training sessions in the app. These Planned Workouts split a session into small pieces, for example sets at the the gym, or intervals on a bike. When you’re exercising, Heart Graph will keep track of where you are in the session and what’s coming up next, alerting you when it’s time to stop or move on. The trigger for moving from one set to the next can be a simple time gap (“wait 30 seconds”), or be based on heart rate to allow a specific amount of recovery before continuing (“wait until heart rate is below 120bpm”). The outcome is a structured plan that adapts to how your body is responding each time you do that session.

Premium Features include:
* View and analyse the time spent in each of five configurable heart rate zones
* Add annotations to the graph during recording to help identify key events
* Heart rate alarms when your heart rate changes zone or goes above or below configurable thresholds
* Import data from the Health app for custom time periods of up to 24 hours
* Directly compare graphs for equivalent sessions
* Compare statistics (such as max, mean and resting heart rate) across sessions
* Record a session to explicitly measure resting heart rate while you relax
* Audio rep counting so you never lose count — make a noise every time you complete a rep and the app keeps track of how many you’ve done
* Import and export heart rate data from other apps or your computer using Garmin TCX format files
* Import Garmin GPX format files
* Export data to CSV files for further analysis in software such as Excel (email, Dropbox, etc)

Heart Graph requires an external sensor to record heart rate, such as:
* A bluetooth (BTLE) sensor such as the Wahoo Tickr / Polar H10 chest straps, or the Mio Alpha watch
* An Apple Watch
* An ANT+ sensor connected using the Wahoo Key

DISCLAIMER: Heart Graph is not a medical device, and you must always seek a doctor’s advice before making any medical decisions.

paveldefula

Недавно набрел в интернете на график функции, которая напоминает сердечко. Когда-то в универе мы тоже пробовали такую построить, но то ли времени не хватило, либо просто отнеслись у этому как к приколу.
Я тут ковырялся в своем маке и нашел там забавную программку, называется Grapher, которая умеет строить графики функций. Решил проверить.
Вот формула:
Love_formula

Вбиваем ее в редактор формул mac и вуаля:
Screen Shot 2014-12-08 at 22.57.04
Действительно, функция показывает график, похожий на сердце! Если честно, не ожидал. После этого решил вспомнить немного школьную математику и привести функцию к классической y=x. Получилось не с первого раза, сердце не было похоже на исходное:
Верхняя часть сердца слишком заостренная. Нижней части нет вообще.
Screen Shot 2014-12-08 at 23.01.46
Верхняя часть такая же заостренная, появилась нижняя часть, но есть пропуск в районе пересечения с осью абсцисс. Опять неудача.
Screen Shot 2014-12-08 at 23.07.27

Меня зацепила эта идея. Буду завтра пробовать еще раз привести функцию к человеческому виду.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *