Сколько существует девятизначных чисел сумма цифр которых четна

Сколько существует девятизначных чисел сумма цифр которых четна

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

Решение

Разобьём девятизначные числа на пары последовательных: (100000000, 100000001), (100000000, 100000001), . В каждой паре сумма цифр второго числа на 1 больше суммы цифр первого, значит, ровно одна из них чётна. Следовательно, числа с чётной суммой цифр составляют ровно половину от количества всех девятизначных чисел, а их 9·10 8 (см. решение задачи 60336).

Комбинаторика

2.1. а) В Стране Чудес есть три города A, B и C. Из города A в город B ведет 6 дорог, а из города B в город C — 4 дороги. Сколькими cпособами можно проехать от A до C?

б) В Стране Чудес построили еще один город D и несколько новых дорог — две из A в D и две из D в C. Сколькими способами можно теперь добраться из города A в город C?

Правило суммы. Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b (независимо от выбора элемента a) — n способами, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами.

Правило произведения. Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b (независимо от выбора элемента a) — n способами, то выбор «a и b» можно сделать m · n способами.

2.2. Cколько существует различных семизначных телефонных номеров (cчитается, что номер начинаться с нуля не может)?

2.3. Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита (30 букв) и трех цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?

2.4. В некоторой школе каждый школьник знаком с 32 школьницами, а каждая школьница — с 29 школьниками. Кого в школе больше: школьников или школьниц и во сколько раз?

2.5. В языке одного древнего племени было 6 гласных и 8 согласных, причем при составлении слов гласные и согласные непременно чередовались. Сколько слов из девяти букв могло быть в этом языке?

2.6. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? (См. также 12.9 .)

2.7. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?

2.8. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

2.9. Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

2.10. Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

2.11. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения,

а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру? (Числа 23 и 37 можно увидеть и в числе 237.)

2.12. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 54345,

2.13. Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых четна?

2.14. Сколькими способами можно разложить 7 монет различного достоинства по трем карманам?

2.15. Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных «симпатичных» чисел?

2.16 * . На двух клетках шахматной доски стоят черная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или по горизонтали клетку. (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретится все возможные варианты расположения этих двух фишек, причем ровно по одному разу?

2. Принцип Дирихле

Принцип Дирихле (принцип ящиков). При любом распределении nk + 1 или более предметов по n ящикам в каком-нибудь ящике окажется не менее чем k + 1 предмет.

2.17. Докажите, что среди москвичей есть два человека с равным числом волос, если известно, что у любого человека на голове менее одного миллиона волос.

2.18. В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные — черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10-ти шаров одного цвета?

2. Принцип Дирихле

2.19. Некоторые точки из данного конечного множества соединены отрезками. Докажите, что найдутся две точки, из которых выходит поровну отрезков.

2.20. Имеется 2k + 1 карточек, занумерованных числами от 1 до 2k+ 1. Какое наибольшее число карточек можно выбрать так, чтобы ни один из извлеченных номеров не был равен сумме двух других извлеченных номеров?

2.21. Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

2.22. Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них — мужчины. Докажите, что какие-то двое из мужчин сидят друг напротив друга.

2.23. На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых. Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.

2.24. Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

2.25 * . Дано 51 различных двузначных чисел (однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0). Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.

2.26. Числа от 1 до 101 выписаны в произвольном порядке. Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 чисел так, что оставшиеся 11 чисел будут следовать одно за другим в порядке возрастания или убывания.

2.27. Имеется 2000 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

2.28. Даны 1002 различных числа, не превосходящих 2000. Докажите, что из них можно выбрать три таких числа, что сумма двух из них равна третьему. Останется ли это утверждение справедливым, если число 1002 заменить на 1001?

2.29 * . Дана прямоугольная таблица, в каждой клетке которой написано вещественное число, причем в каждой строке таблицы числа расположены в порядке возрастания. Докажите, что если расположить числа в каждом столбце таблицы в порядке возрастания, то в строках полученной таблицы числа по-прежнему будут располагаться в порядке возрастания.

2.30. В волейбольном турнире команды играют друг с другом по одному матчу. За победу дается одно очко, за поражение — ноль. Известно, что в один из моментов турнира все команды имели разное количество очков. Сколько очков набрала в конце турнира предпоследняя команда

и как она сыграла с победителем?

2.31. Бесконечная клетчатая доска раскрашена в три цвета (каждая клеточка — в один из цветов). Докажите, что найдутся четыре клеточки одного цвета, расположенные в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными стороне одной клеточки.

2.32. Докажите, что из 11 различных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две такие, которые совпадают в бесконечном числе разрядов.

2.33. На плоскости даны 6 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Докажите, что среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет. (См. также 5.36 .)

2.34. Докажите утверждение задачи 1.26 при помощи принципа

3. Размещения, перестановки и сочетания

Определение. Пусть M = — множество из n элементов. Наборы вида (a i 1 , . . . , a i k ) будем называть k-размещениями. Два k-размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга входящими в них элементами или порядком элементов.