Какая из данных логических функций является тождественно истинной

Вариант 1. Преобразование логических выражений

Какая из данных логических функций является тождественно ложной?

Варианты ответов

Вопрос 2

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [5, 15] и Q = [10, 25]. Выберите из приведённых ниже такой отрезок А, чтобы формула

\(\left(\left(x\in A\right)\rightarrow\left(x\in P\right)\right)\vee\left(x\in Q\right)\)

была тождественно истинной, т. е. принимала значение 1 при любом значении переменной х.

Варианты ответов

• [0,9]
• [14,30]
• [31,42]
• [7,23]

Вопрос 3

A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:

Вопрос 4

Упрости выражение \(\overline<\left(A\rightarrow B\right)>\rightarrow\left(A\rightarrow C\right)\) и определи, какая схема ему соответствует.

Из заданных логических выражений тождественно истинным является …

+
−
−
−
Тождественно истинным является выражение
Таблица истинности для данного выражения имеет вид:

Из таблицы видно, что логическое выражение является тождественно истинным, так как на всех наборах значений переменных оно принимает значение 1. Остальные выражения не являются тождественно истинными.
ответ тест i-exam

Раздрогин Артём №2-4

Определение истинности и ложности высказываний, применение логических операций, представление логических выражений в виде формул, выполнение упрощений формул.

Определить истинность или ложность высказываний:

• «2*2=5» и «2*2=4» или «2*2=3»

• «2*2=5» или «2*2=4» или «2*2=3»

• «2*2=5» или «2*2=4» и не «2*2=3»

• «2*2=4» и не «2*2=3» и не «2*2=5»

• «Л» или «И» — истина

• «Л» и «И» или «Л» — ложь

• «Л» или «И» или «Л» — истина

• «Л» или «И» и не «Л» — истина

• «И» и не «Л» и не «Л» — истина

Из заданных логических функций тождественно истинной являются

А или А или А – по закону тавтологии логическая функция равна «A»

А и А и А –по закону тавтологии логическая функция равна «А».

А или не А или не А – по закону тавтологии из данной логической функции при любых значениях «А» исходит истина, и она является тождественной истиной.

А и не А и не А – по закону тавтологии из данной логической функции при любых значениях «А» исходит ложь, и она является тождественно ложной.

А и не А или не А — по закону тавтологии данная логическая функция равна «не А».

А или А и не А — по закону тавтологии из данной логической функции при любых значениях «А» исходит ложь, и она является тождественно ложной.

А или не А и А – по закону тавтологии из данной логической функции при любых значениях «А» исходит истина, и она является тождественной истиной.

А или не А или А — по закону тавтологии данная логическая функция равна «не А».

А и не В или А — По закону тавтологии логическая функция равна «A».

А и не А или В — По закону тавтологии логическая функция равна «В».

А и В или не А — По закону тавтологии из данной логической функции истина исходи из «В» либо из «не А».

А или В или не А — По закону тавтологии из данной логической функции при любых значениях «А» и «В» исходит истина, и она является тождественной истиной.

А и не В или А — По закону тавтологии логическая функция равна «A».

не А или В или не В — По закону тавтологии из данной логической функции при любых значениях «А» и «В» исходит истина, и она является тождественной истиной.

• Вариант 1 – Логическое выражение является истинным, если хотя бы два из трёх высказываний, составляющих данное выражение, являются истинными

• Вариант 2 – Логическое выражение является истинным, если либо одно из трёх высказываний, составляющих данное выражение, либо все они вместе являются истинными

• совершенную дизъюнктивную и конъюнктивную формы функции,

• минимальную дизъюнктивную и конъюнктивную формы функции с использованием метода непосредственных преобразований,

• минимальную дизъюнктивную и конъюнктивную формы функции с использованием метода Карно-Вейча,

Логические выражения и таблица истинности

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. m_строк=2 n , m=2 2 =4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

А

В

А\/ В

¬А

¬В

¬А\/¬В

F

0

1

1

0

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A\/ B) /\ ¬С

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
2. количество строк таблицы = 2 3=8
3. В формуле 3 логические операции.
4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) ¬С; 3) (AVB) /\ ¬С .

1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А

В

С

A\/B

(A\/B) /\ ¬С

0

0

1

0

1

0

1

0

Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С \/В) => В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X

Y

Z

F

¬X/\¬Y/\Z

¬X\/¬Y\/Z

X\/Y\/¬Z

X\/Y\/Z

1

1

0

0

1

1

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1) первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2) второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3) третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4) четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.