Основные сведения о лучах в математике
Прямая, отрезок и луч — одни из основных понятий геометрии. В чем отличие между прямой, отрезком и лучом?
Прямая — ровная линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Ее можно бесконечно продолжать в обе стороны.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет начало и конец.
Луч (полупрямая) — часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. У луча есть начало и нет конца. Он может быть бесконечно продлен в одну сторону.
Обозначение луча
Название луча — одна строчная (маленькая) буква, одна или две прописные (большие) буквы латинского алфавита. Например, «луч а», «луч В» (по названию начальной точки, если из нее исходит только один луч) или «луч ОС», «[ОС)» (первая буква — всегда начальная точка, вторая буква — точка, принадлежащая лучу).
Свойства луча
Луч невозможно изобразить полностью, поэтому на рисунке изображают только часть луча. Точки, лежащие на пути луча, тоже принадлежат лучу. На рисунке изображен луч DD_1. Точки D_1, D_2, D_3 принадлежат лучу DD_1. С помощью математических символов это записывают так: D_1∈[DD_1), D_2∈[DD_1), D_3∈[DD_1).
Лучи совпадают, если они
- располагаются на одной прямой;
- имеют общую начальную точку;
- направлены в одну сторону.
Изображенные на рисунке лучи [ЕЕ_1) и [ЕЕ_2) совпадают. Лучи [FF_1) и [FF_2) не совпадают, так как направлены в разные стороны. Лучи [GG_1) и [G_1G_2) не совпадают, так как не имеют общей начальной точки. Если лучи начинаются в одной точке и направлены в одну сторону, то они обязательно будут лежать на одной прямой и, следовательно, совпадать.
Виды лучей
Любая точка, лежащая на прямой, делит данную прямую на два луча. Оба эти луча содержат начальную точку и называются «дополнительными», так как дополняют друг друга до прямой.
Лучи и угол
Два луча с общим началом образуют угол.
Угол — геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. Начальная точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Угол обозначают прописными буквами латинского алфавита или строчной буквой греческого алфавита. На рисунке ниже изображен угол КМО или α. Запись с помощью математических символов: ∠КМО или ∠α.
Дополнительные лучи образуют угол 180° или развернутый угол.
Пример решения задачи
Рассмотрите рисунок и найдите все отрезки и лучи.
Лучи: AB (с ним совпадают AC, AD, AE), BA, BC (совпадающие — BD, BE), CA (совпадающий — СВ), CD (совпадающий — СЕ), DA (совпадающие — DB, DC), DE, EA (совпадающие — EB, EC, ED).
Что такое луч в математике
Не секрет, что знания, которые вы получили в школьные годы не всегда остаются с вами впоследствии Иногда бывает полезно изучить новое или освежить в памяти то, что вы давно забыли. Сегодня вы вспомните такое понятие как луч.
Луч — геометрическое понятие
Луч — это такая прямая линия, один из концов которой ограничен точкой, а другой продолжается до бесконечности. Таким образом, фигура тянется вперёд без ограничений. но только с одной стороны. Вторая сторона не может тянуться дальше точки, которая является началом фигуры.
На картинке вы можете посмотреть, что такое луч и как он выглядит:
Луч отмечается посредством строчной латинской буквы или двух таких точек, которые обозначены заглавными буквами латинского алфавита.
Если вы увидите отрезок с двумя точками и продолжите его в одну из сторон, как показано на рисунке, то получится луч.
Отличия луча от прямой и от отрезка
В геометрии есть три схожих понятия, которые подразумевают под собой черту — это луч, отрезок, прямая. Эти фигуры всегда изображаются без изгибов и имеют ряд особенностей.
В рамках курса математики луч — это полупрямая. Дело в том, что с одного конца он обладает признаком бесконечности, который присущ прямой линии.
В начальной точке луч имеет сходство с отрезком, так как он так же ограничен точкой.
Обратите внимание — быстро отличить фигуры друг от друга вы можете по наличию у них начала и конца:
- отрезок имеет начальную и конечную точки;
- луч — только начало;
- прямая — не располагает начальной и конечной точками.
Взаимное расположение лучей
Если на прямой линии вы поставите точку, то на ней сформируются два таких луча, начало которых находится в одной точке.
На рисунке начало для лучей — общая точка A.
По взаимному расположению лучи делятся на пересекающиеся и непересекающиеся.
Параллельный луч — это фигура, у которой любая точка находится на одинаковом расстоянии от соответствующей точки другого луча. Параллельные лучи не могут пересекаться.
Дополнительные лучи — это фигуры, которые обладают такими признаками, как:
- имеют совпадающее начало в одной точке;
- располагаются на одной прямой линии;
- направляются в разные стороны, то есть угол между ними составляет 180 градусов.
Можно ли сравнить два луча?
Луч — это такая фигура, которую нельзя измерить. Он продолжается без ограничений, поэтому не обладает характеристикой длины.
Так как невозможно измерить несколько лучей, сравнить их вы тоже не сможете.
Луч — альтернативные значения слова
Русский язык достаточно сложен и необычайно многообразен, поэтому многие слова имеют несколько разных значений, а разнообразные сочетания способны радикально менять смысл слов, которые являются их составными частями.
Сможете ли вы сходу ответить на вопрос: «Что такое луч света?». Это словосочетание употребляется нами с детства, но не так легко выразить, что оно означает.
Такая фраза описывает прямую линию, по которой направляется световая энергия. Эта энергия исходит от разных источников:
- Солнце;
- звёзды;
- лампочка.
В быту вы можете услышать словосочетание «луч света в тёмном царстве». Такие слова означают — среди негативных явлений присутствует что-то хорошее. Короткое слово всегда ассоциируется с чем-то светлым, добрым и положительным.
Фраза «луч надежды» указывает, что среди множества нежелательных последствий существует не высокая вероятность благополучного исхода.
Плоскость, прямая линия, луч
Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.
Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.
Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.
Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.
Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.
Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.
Прямая линия
Каждой ваше пожертвование увеличивает количество полезной и интересной информации на сайте Easy-Math.ru!
Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.
Даже когда мы рисуем на листе бумаги небольшой кусок прямой линии, то мы предполагаем , что этот лист бумаги – это бесконечная плоскость, и мы можем мысленно раздвинуть видимые границы бумаги и продлить прямую бесконечно долго.
Обозначение прямой
В основном прямую, как и любую другую линию, обозначают при помощи строчной (маленькой) буквы латинского алфавита .
Иногда обозначение прямой линии происходит при помощи двух точек , которые принадлежат (часто говорят просто – лежат на) этой прямой. В этом случае ее обозначают названием этих двух точек.
Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:
- c
- KL
Рис. 1 Обозначение прямой линии
Если на одной прямой лежат три и более известных нам точек, то обозначить эту линию можно любой из комбинаций имен любых двух точек .
Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками
На рисунке 2 видно, что на одной прямой b лежат четыре точки: D , G , H , O . Поэтому данную прямую мы можем назвать любым из этих семи имен: b , DG , DH , DO , GH , GO или HO .
Некоторые свойства прямой
Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.
Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.
Рис. 3 Отрезок на прямой
Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.
Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.
И наоборот, если у двух разных прямых нет общей точки, тогда эти прямые не пересекаются .
Рис. 5 Пересечение прямых
На рисунке 5 можно видеть, что прямые l и q пересекаются в точке O , а прямые q и g не пересекаются.
Обозначение пересечения письменно записывается при помощи символа ∩: l ∩ q — прямая l пересекается с прямой q .
Как вам уже известно из этого урока, на рисунках мы можем отображать только часть прямых (поскольку они бесконечные), и что их можно мысленно увеличивать, делать более протяженными. Поэтому, если мысленно продлить прямые l и g , то станет понятно, что они тоже пересекаются.
Взаимное расположение точек и прямой , а также их обозначение, точно такое же, как и у всех линий вообще.
Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.
Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.
Рис. 6 Деление прямой линии точкой
На рисунке 1 точка O делит прямую a на две части, то есть, на два луча. Один из них, как вы видите, длится бесконечно вправо, а другой – бесконечно влево. Оба они начинаются в одной и той же точке O , которую называют началом луча.
У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.
Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.
Обозначение луча
Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.
Рис. 7 Обозначение луча
На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:
- a – строчной (маленькая) буква латинского алфавита;
- OF – точками, расположенными на луче. При этом на первом месте всегда пишут точку начала луча, а на втором – любую точку, которая принадлежит лучу.
Луч имеет второе название – полупрямая.
Два луча, которые лежат на одной прямой, начинаются в одной точке и направлены в разные стороны, называются дополнительными друг другу лучами , поскольку в соединенном виде они формируют одну прямую линию в точке их начала.
Если лучи лежат на одной прямой, начинаются в одной точке и направлены в одну сторону, их называют совпадающие , или говорят, что эти лучи совпадают .
Луч (геометрия)
Определение 1. Луч или полупрямая − это линия, имеющая начало но не имеющая конца (Рис.1).
 |
Определение 2. Луч − это часть прямой, состоящей из точки на прямой и всех точек, лежащих по одну сторону от нее.
Замечание 1. Любая точка на прямой разделяет прямую на два луча, которые начинаются с данной точки и имеют противоположные направления. (Рис.2):
 |
Точка, разделяющая прямую на два луча называется началом каждого из лучей.
Обозначение луча
Луч обозначают маленькой латинской буквой или двумя большими латинскими буквами, где первая буква − начало луча, а вторая буква − некоторая точка на луче (Рис.3):
 |
Записывают луч так: луч a, луч AB или [AB), где A начало луча, а B любая точка на луче.